forum.zadania.info

Okręgi \(o_1\) i \(o_2\) o promieniu \(r\) przecinają się w punktach \(A\) i \(B\), przy czym \(\left| AB\right| = r\). Z punktu \(P\) leżącego na \(o_1\) prowadzimy styczne do \(o_2\), które przecinają \(o_1\) w punktach \(X\) i \(Y\). Pokazać, że prosta \(XY\) jest styczna do \(o_2\).

Zadanie znajduje się w kategorii kąty, jednak nie mam pomysłu jak w ogóle do tego podejść.

Rozważmy trójkąt \(\Delta PAB\). Z twierdzenia o trzech prostych wiemy, że prosta przechodząca przez punkt \(P\) oraz środek odcinka \(AB\) jest prostopadła do prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\). Zatem odcinek \(XY\) jest równoległy do prostej przechodzącej przez punkty \(A\) i \(B\).

Niech \(C\) będzie punktem przecięcia stycznej w punkcie \(X\) i prostej \(AB\). Zauważmy, że \(\angle ACB=\angle PAB\) (kąty oparte na tym samym łuku \(AB\)). Zatem, ponieważ \(\Delta PAB\) jest trójkątem prostokątnym (z twierdzenia o trzech prostych), to \(\angle ACP=90^{\circ}\). Oznacza to, że odcinek \(XY\) jest styczny do okręgu \(o_2\) w punkcie \(C\).

uziom pisze: ↑05 kwie 2023, 11:39 Z twierdzenia o trzech prostych wiemy, ...

Problem leży na płaszczyźnie Kolejny post - spam!