forum.zadania.info

Hejka, jak to policzyć?
Mamy zbiornik o pojemności 200l wypełniony wodą pod ciśnieniem 5 atmosfer. Woda wydostaje się ze zbiornika w tempie 100 litrów na godzinę. Ciśnienie wypływu jest zredukowane do 1.7 atmosfery. Jak policzyć czas w jakim ciśnienie w zbiorniku spadnie z 5 atmosfer do 1.7 atmosfery.
Był bym wdzięczny za pomoc.

Za mało danych, np. Ile litrów wody jest w zbiorniku?

Zbiornik w całości wypełniony wodą czyli 200l

A wymiary tego zbiornika, skąd to ciśnienie wody sie bierze?

Wymiary są o tyle istotne, że w innym czasie następuje opróżnianie (grawitacyjne) zbiornika prostopadłościennego, w innym walcowatego, a w jeszcze innym kulistego, stożkowatego itd.

Załóżmy, że jest to prostopadłościan, a zatem wysokość h słupa wody wywiera ciśnienie hydrostatyczne na poziomie wylotu początkowo równe \( \rho g H = 5 \ atm\)

Prędkość wypływu \(v =\sqrt{2gH}\) (wzór Torricellego)

wzór ten powinniśmy "poprawić" o współczynnik przewężenia strugi \(\alpha\)

\(v_h = \alpha\sqrt{2gh(t)}\)

\(h(t)=\frac{v(t)}{a\cdot b}\) , a,b - długość i szerokość zbiornika czyli stałe pole przekroju (podstawa prostopadłościanu)

objętościowe natężenie wypływu: \( V = v_h \cdot S_o\) , gdzie \(S_o =\frac{\Pi d^2}{4}\) -pole przekroju otworu

ten z kolei powinien być przemnożony przez współczynnik kontrakcji \(\beta\rightarrow S =\beta \cdot S_o\)

czyli \(V =\alpha \beta \frac{\Pi d^2}{4} \sqrt{2gh}\)

następnie trzeba rozwiązać r-nie różniczkowe \(V\cdot dt = - A\cdot dh = -\frac{\pi D^2}{4}dh \),
wody ubywa stąd "-" po prawej stronie

podstawiamy \(\alpha \beta \frac{\Pi d^2}{4} \sqrt{2gh}\cdot dt = -\frac{\pi D^2}{4}dh\)

i przekształcamy \(dt =-\frac{D^2}{\alpha \beta d^2 \sqrt{2g}} \cdot \frac{dh}{\sqrt{h}}\)

całkujemy w granicach: po lewej od 0 do T, a po prawej od H do 0

\(\int_{0}^{T} dt = -\frac{D^2}{\alpha \beta d^2 \sqrt{2g}} \int_{H}^{0} \frac{dh}{\sqrt{h}} = \frac{D^2}{\alpha \beta d^2 \sqrt{2g}} \int_{0}^{H} \frac{dh}{\sqrt{h}}\)

ostatecznie

\( T = \frac{D^2}{\alpha \beta d^2 \sqrt{2g}} \cdot 2[\sqrt{h}]_0^H = \frac{2D^2 \sqrt{H}}{\alpha \beta d^2 \sqrt{2g}} = \frac{1}{\alpha \beta} (\frac{D}{d})^2 \sqrt{\frac{2H}{g}}\)



PS. Podobne zadanie znajduje się w zbiorze zadań z hydrauliki K. Baran-Gurgul.

PS.2 zadanie na pewno nie na poziomie szkoły średniej

O matko i córko, ja tego nie policzę, znalazłem ten skrypt, które to zadanie jest może coś podpatrzę?