Rozwiązanie uzyskaliśmy wspólnie z użytkowniczką
iwanka
Łatwo zauważyć, że jeśli \(a=0\), to również \(b=c=0.\) Podobnie jest, gdy \(b=0\) lub \(c=0\). Stąd trójka \(a=0,\ b=0,\ c=0\) jest rozwiązaniem. Dalej załóżmy, że wszystkie liczby \(a,b,c\) są różne od zera. Wtedy mnożymy stronami pierwsze równanie przez \(b\), drugie przez \(c\), a trzecie przez \(a\). Dodając stronami dojdziemy do równania\[2(a^3b+b^3c+c^3a)=3abc.\]Patrząc na dwa pierwsze składniki lewej strony i porównując z pierwszym równaniem otrzymamy \(2abc+2c^3a=3abc\), skąd łatwo dostaniemy \(b=2c^2\). Podobnym sposobem dostaniemy też, że \(a=2b^2\) oraz \(c=2a^2.\) A stąd już łatwo wywnioskować, że \(a=b=c=\frac{1}{2}.\)
EDIT To rozwiązanie zgadza się z pierwszym rozwiązaniem ze strony OM. Drugie z tych rozwiązań jest bardzo eleganckie, bo natychmiast dochodzi się do wspomnianego powyżej układu trzech równań \(a=2b^2\) itd.