Oblicz granice

[Sway22]

a) \( \Lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt{2n^3 + 1} }{n \sqrt{3n - 2} } \)
b) \( \Lim_{x\to \infty } \sqrt[n]{5^n + 8^n + \sin ^2 n} \)
c) \( \Lim_{x\to \infty } \sqrt[n + 1]{2n + 5} \)

d) \( \Lim_{x\to 0} \frac{e^{5x} - 1}{ \tg 2x} \)
e) \( \Lim_{x\to 0} \frac{3 \sin 3x - 5 \sin 5x}{x} \)

[kerajs]

a) \(
\Lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt{2n^3 + 1} }{n \sqrt{3n - 2} }=\frac{ \sqrt{2n^3 + 1} }{n \sqrt{3n - 2} }
\\
\\
\\
\\
\Lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{2n^3 + 1} }{n \sqrt{3n - 2} }= \Lim_{n\to \infty } \frac{ n \sqrt{n} \sqrt{2 + \frac{1}{n^3} } }{n \sqrt{n} \sqrt{3 - \frac{2}{n} } }= \frac{ \sqrt{2} }{ \sqrt{3} }


\)

[kerajs]

b) \( \Lim_{x\to \infty } \sqrt[n]{5^n + 8^n + \sin ^2 n}=\sqrt[n]{5^n + 8^n + \sin ^2 n} \\ \\ \\

\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n]{5^n + 8^n + \sin ^2 n}=
\Lim_{n\to \infty } 8 \sqrt[n]{(\frac58)^n + 1 + \frac{ \sin ^2 n}{8^n}}=8
\)

[radagast]

a) \( \Lim_{x\to \infty } \frac{ \sqrt{2n^3 + 1} }{n \sqrt{3n - 2} } \)

\( \Lim_{n\to \infty } \frac{ \sqrt{2n^3 + 1} }{ \sqrt{3n^3 - 2n^2} } =\Lim_{n\to \infty } \sqrt{ \frac{2n^3+1}{3n^3-2n^2} } =\Lim_{n\to \infty } \sqrt{ \frac{2+ \frac{1}{n^3} }{3- \frac{2}{n} } } = \sqrt{\frac{2}{3}}= \frac{ \sqrt{6} }{3} \)

[radagast]

e) \( \Lim_{x\to 0} \frac{3 \sin 3x - 5 \sin 5x}{x} \)

\( \Lim_{x\to 0} \frac{3 \sin 3x - 5 \sin 5x}{x}=3^2-5^2=-16 \)

[kerajs]

c) \( \Lim_{x\to \infty } \sqrt[n + 1]{2n + 5} = \sqrt[n + 1]{2n + 5} \\ \\
\Lim_{n\to \infty } \sqrt[n + 1]{2n + 5}= \Lim_{n+1\to \infty } \sqrt[n + 1]{2(n+1) + 3}=
\Lim_{n+1\to \infty } \sqrt[n + 1]{n+1}\sqrt[n + 1]{2+\frac{3}{n+1}}=1\cdot 1=1
\)

[radagast]

d) \( \Lim_{x\to 0} \frac{e^{5x} - 1}{ \tg 2x} \)

\( \Lim_{x\to 0} \frac{e^{5x} - 1}{ \tg 2x}=^H= \Lim_{x\to 0} \frac{5e^{5x}}{ \frac{2}{\cos^22x} }= \frac{5}{2} \)