forum.zadania.info

Promieniotwórczy izotop ołowiu \(^{210}Pb\) ma okres połowicznego zaniku równy 22,3 lat. Po jakim czasie jego aktywność zmniejszy się pięciokrotnie?

W nawiązaniu do poprzednich postów\[x(t)=x_0e^{-kt}.\] Dla ołowiu \(k=-\frac{\ln 2}{22{,}3}.\) Mamy równanie \[x(t)=\frac{1}{5}x_0\],więc\[e^{-\frac{\ln 2}{22{,}3}t}=\frac{1}{5}.\] Rozwiązujemy to równanie:\[t=\ln 0{,}2\cdot\left(-\frac{22{,}3}{\ln 2}\right)\approx 51{,}8\text{ lat.}.\]

II sposób

\(A(t) = A_o e^{-{\lambda t}}\), gdzie stała rozpadu \(\lambda = \frac{\ln2}{T}\approx \frac{0,693}{T}\)

z tablic albo kalkulatora z funkcją eksponencjalną odczytujemy, że \(\frac{1}{5} =0,2 \approx e^{-1,61} = e^{-{\lambda t}}\rightarrow \lambda t = 1,61\)

czyli \(t = \frac{1,61}{\lambda} = \frac {1,61\cdot 22,3}{0,693} \approx 51,8 \ lat \)