Prostopadłościenna puszka

[avleyi]

Prostopadłościenna zamknięta puszka ma pojemność \(36cm^3\). Jej dno jest prostokątem, którego jeden bok jest trzy razy krótszy od drugiego. Wyraź pole powierzchni całkowitej tej puszki jako funkcję długości krótszego boku jej dna i oblicz najmniejszą wartość pola tej puszki

[kerajs]

boki puszki: x, 3x, 36/(3x*x)
P_c(x)=2(x*3x+x*36/(3x*x)+3x*36/(3x*x))
uprość to wyrażenie, oblicz pochodną i znajdź minimum

[eresh]

Prostopadłościenna zamknięta puszka ma pojemność \(36cm^3\). Jej dno jest prostokątem, którego jeden bok jest trzy razy krótszy od drugiego. Wyraź pole powierzchni całkowitej tej puszki jako funkcję długości krótszego boku jej dna i oblicz najmniejszą wartość pola tej puszki

\(x\cdot 3x\cdot H=36\\
H=\frac{36}{3x^2}\\
H=\frac{12}{x^2}\\
x>0\)

\(P_C=2(x\cdot 3x+x\cdot \frac{12}{x^2}+3x\cdot\frac{12}{x^2})\\
P(x)=6x^2+\frac{24}{x}+\frac{72}{x}\\
P(x)=6x^2+\frac{96}{x}\\
P'(x)=12x-\frac{96}{x^2}=\frac{12x^3-96}{x^2}=\frac{12(x^3-8)}{x^2}\\
P'(x)=0\iff x=2\\
P'(x)>0\iff x\in 2\\
P'(x)<0\iff 0<x<2\\
P_{min}=P(2)=6\cdot 4+\frac{96}{2}=72\)

[kerajs]

P_c(x)=2(x*3x+x*36/(3x*x)+3x*36/(3x*x))
uprość to wyrażenie, oblicz pochodną i znajdź minimum

Czyli:

\(
P(x)=6x^2+\frac{96}{x}\\
P'(x)=12x-\frac{96}{x^2}=\frac{12x^3-96}{x^2}=\frac{12(x^3-8)}{x^2}\\
P'(x)=0\iff x=2\\
P'(x)>0\iff x\in 2\\
P'(x)<0\iff 0<x<2\\
P_{min}=P(2)=6\cdot 4+\frac{96}{2}=72\)

Najwyraźniej eresh sądziła, iż samodzielnie nie potrafisz tego zrobić. Miała rację?