Granica z liczbą e

[taneltatius]

\(\Limn\frac{(n+1)^n-(n+2)^n}{(n+2)^n-(n+3)^n}\)

[Jerry]

\(\Limn\frac{(n+1)^n-(n+2)^n}{(n+2)^n-(n+3)^n}=\Limn\frac{(n+2)^n}{(n+2)^n}\cdot\dfrac{\left({n+1\over n+2}\right)^n-1}{1-\left({n+3\over n+2}\right)^n}={e^{-1}-1\over 1-e}={1\over e}\)
ponieważ:

• \(\Limn\left({n+1\over n+2}\right)^n=\Limn\left(1+{-1\over n+2}\right)^n=\Limn\left[\left(1+{1\over -n-2}\right)^{-n-2}\right]^{n\over-n-2}=e^{-1}\)
• \(\Limn\left({n+3\over n+2}\right)^n=\Limn\left(1+{1\over n+2}\right)^n=\Limn\left[\left(1+{1\over n+2}\right)^{n+2}\right]^{n\over n+2}=e^{1}\)

Pozdrawiam
PS. Następnym razem: skan - śmietnik!