forum.zadania.info

szw1710 pisze: ↑17 lis 2022, 21:22 Widać, że jeśli \(x\) jest rozwiązaniem, to \(x<0\). Podzielmy więc równanie przez \(x^3\). Przy tym przegrupujmy wyrazy. Dostaniemy

\[ \left(x^3+\frac{1}{x^3}\right)+4 \left(x^2+\frac{1}{x^2}\right)+7\left(x+\frac{1}{x}\right)+11=0.\tag{1}\]
Następnie podstawmy
\[x+\frac{1}{x}=t.\]
Po nietrudnych przeliczaniach dostaniemy
\[ t^2=x^2+\frac{1}{x^2}+2,\]
zatem
\[x^2+\frac{1}{x^2}=t^2-2.\]
Dalej,
\[ t^3=x^3+\frac{1}{x^3}+3\left(x+\frac{1}{x}\right)=x^3+\frac{1}{x^3}+3t,\]
skąd
\[ x^3+\frac{1}{x^3}=t^3-3t.\]
Wstawiając to do równania (1) łatwo dostaniemy
\[ t^3+4t^2+4t+3=0,\]
a jednym z pierwiastków tego równania jest \(t=-3\).
Mamy
\[ t^3+4t^2+4t+3=(t^2+t+1)(t+3)=0.\]
więc jedynym pierwiastkiem rzeczywistym jest \(t=-3\).
Tak więc
\[x+\frac{1}{x}=-3,\]
skąd mamy równanie kwadratowe
\[x^2+3x+1=0,\]
które już łatwo rozwiążesz.

Przedstawiona tu metoda jest dość często stosowanym w różnych zadaniach konkursowych trickiem, a możliwość jego zastosowania dostrzegłem dzięki swoistej symetrii współczynników równania. Nie sądzę, że to zadanie pochodzi z konkursu. Jest ono na poziomie kółka matematycznego.

Mało tego, można zauważyć (dzieląc wyjściowe równanie przez \(x^6\)), że jeśli \(x\) jest jetgo rozwiązaniem, to i \(\frac{1}{x}\) jest rozwiązaniem. Równanie ma dwa rozwiązania i ze wzorów Viete'a rzeczywiście widać, że ich iloczyn jest równy \(1\), więc są wzajemnie odwrotne.