Strona 1 z 1
zadanie optymalizacyjne
: 16 lis 2022, 19:15
autor: xenoneq_o0
W kule o promieniu R wpisano walec o największym polu powierzchni bocznej. Wyznacz wymiary tego walca
Re: zadanie optymalizacyjne
: 16 lis 2022, 21:25
autor: eresh
xenoneq_o0 pisze: ↑16 lis 2022, 19:15
W kule o promieniu R wpisano walec o największym polu powierzchni bocznej. Wyznacz wymiary tego walca
H - wysokość walca
r - promień podstawy walca
\(H^2+(2r)^2=(2R)^2\\
H^2+4r^2=4R^2\\
H=\sqrt{4R^2-4r^2}\\
H=2\sqrt{R^2-r^2}\\
R^2-r^2>0\\
r\in (0,R)\)
\(P=2\pi rH\\
P(r)=2\pi\cdot r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}\\
P(r)=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}\\
P'(r)=4\pi\sqrt{R^2-r^2}+4\pi r\cdot\frac{-2r}{2\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)=4\pi (\sqrt{R^2-r^2}-\frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}})\\
P'(r)=4\pi\cdot\frac{R^2-r^2-r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)=4\pi\cdot\frac{(R-\sqrt{2}r)(R+\sqrt{2}r)}{\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)>0\iff r\in (0,\frac{\sqrt{2}}{2}R)\\
P'(r)<0\iff r\in (\frac{\sqrt{2}}{2}R,\infty)\\
P_{max}=P(\frac{R\sqrt{2}}{2})\)
Re: zadanie optymalizacyjne
: 16 lis 2022, 22:29
autor: xenoneq_o0
eresh pisze: ↑16 lis 2022, 21:25
xenoneq_o0 pisze: ↑16 lis 2022, 19:15
W kule o promieniu R wpisano walec o największym polu powierzchni bocznej. Wyznacz wymiary tego walca
H - wysokość walca
r - promień podstawy walca
\(H^2+(2r)^2=(2R)^2\\
H^2+4r^2=4R^2\\
H=\sqrt{4R^2-4r^2}\\
H=2\sqrt{R^2-r^2}\\
R^2-r^2>0\\
r\in (0,R)\)
\(P=2\pi rH\\
P(r)=2\pi\cdot r\cdot 2\sqrt{R^2-r^2}\\
P(r)=4\pi r\sqrt{R^2-r^2}\\
P'(r)=4\pi\sqrt{R^2-r^2}+4\pi r\cdot\frac{-2r}{2\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)=4\pi (\sqrt{R^2-r^2}-\frac{r^2}{\sqrt{R^2-r^2}})\\
P'(r)=4\pi\cdot\frac{R^2-r^2-r^2}{\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)=4\pi\cdot\frac{(R-\sqrt{2}r)(R+\sqrt{2}r)}{\sqrt{R^2-r^2}}\\
P'(r)>0\iff r\in (0,\frac{\sqrt{2}}{2}R)\\
P'(r)<0\iff r\in (\frac{\sqrt{2}}{2}R,\infty)\\
P_{max}=P(\frac{R\sqrt{2}}{2})\)
Mieliśmy jeszcze na sam koniec wyznaczyć wymiary tego walca, r mamy juz wyliczone czyli tylko podstawiamy do pitagorasa i wyliczamy z tego H?
Re: zadanie optymalizacyjne
: 16 lis 2022, 23:30
autor: eresh
xenoneq_o0 pisze: ↑16 lis 2022, 22:29
Mieliśmy jeszcze na sam koniec wyznaczyć wymiary tego walca, r mamy juz wyliczone czyli tylko podstawiamy do pitagorasa i wyliczamy z tego H?
Wystarczy podstawić do wzoru na H
Re: zadanie optymalizacyjne
: 16 lis 2022, 23:42
autor: xenoneq_o0
eresh pisze: ↑16 lis 2022, 23:30
xenoneq_o0 pisze: ↑16 lis 2022, 22:29
Mieliśmy jeszcze na sam koniec wyznaczyć wymiary tego walca, r mamy juz wyliczone czyli tylko podstawiamy do pitagorasa i wyliczamy z tego H?
Wystarczy podstawić do wzoru na H
Okej dziękuję bardzo