optymalizacyjne

[dytko]

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi \({4 \sqrt2 \over3}\). Wyznacz ostrosłup o najmniejszym polu powierzchni bocznej.

[eresh]

Objętość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego wynosi4 pierwiastki z2 /3. Wyznacz ostrosłup o najmniejszym polu powierzchni bocznej.

\(\frac{1}{3}a^2H=\frac{4\sqrt{2}}{3}\\
a^2H=4\sqrt{2}\\
H=\frac{4\sqrt{2}}{a^2}\\
a>0\)

\(H^2+(0,5a)^2=h^2\\
\frac{32}{a^4}+\frac{a^2}{4}=h^2\\
\frac{128+a^6}{4a^4}=h^2\\
h=\frac{\sqrt{128+a^6}}{2a^2}\)

\(P_b=4\cdot \frac{1}{2}ah\\
P_b=\frac{\sqrt{128+a^6}}{a}\\
P'_b=\frac{\frac{3a^6}{\sqrt{128+a^6}}-\sqrt{128+a^6}}{a^2}\\
P'_b=\frac{3a^6-128-a^6}{a^2\sqrt{128+a^6}}\\
P'_b=\frac{2a^6-128}{a^2\sqrt{128+a^6}}\\
P'_b>0\iff a>2\\
P'_b<0\iff 0<a<2\\
P_{min}=P(2)\\\)