Strona 1 z 1
Równanie wielomianowe
: 15 lis 2022, 18:41
autor: xenoneq_o0
Wykaż, że jeżeli wielomian \( W (x) = x^{3} + ax + b \) ma pierwiastek dwukrotny, to \( 4a^{3} + 27b^{2} = 0 \)
Czy dałoby się udowodnić to stosując wzory Viete'a?
Re: Równanie wielomianowe
: 15 lis 2022, 19:51
autor: kerajs
Tak.
\( \begin{cases} 0=-2p-q \\
a=p^2+2pq \\
b=-p^2q\end{cases} \)
\(q=-2p \ \ \So \begin{cases}
a=p^2-4p^2 \\
b=2p^3\end{cases}\)
\(a^3=-27p^6=-27 \cdot \frac{b^2}{4}\)
Aczkolwiek szybciej byłoby z pochodnej.
Re: Równanie wielomianowe
: 15 lis 2022, 20:48
autor: xenoneq_o0
kerajs pisze: ↑15 lis 2022, 19:51
Tak.
\( \begin{cases} 0=-2p-q \\
a=p^2+2pq \\
b=-p^2q\end{cases} \)
\(q=-2p \ \ \So \begin{cases}
a=p^2-4p^2 \\
b=2p^3\end{cases}\)
\(a^3=-27p^6=-27 \cdot \frac{b^2}{4}\)
Aczkolwiek szybciej byłoby z pochodnej.
Dziękuję bardzo
Re: Równanie wielomianowe
: 31 sie 2023, 17:25
autor: mosdef21
A jak wykorzystać tutaj wzory Viete'a?
Re: Równanie wielomianowe
: 31 sie 2023, 18:54
autor: eresh
mosdef21 pisze: ↑31 sie 2023, 17:25
A jak wykorzystać tutaj wzory Viete'a?
Dokładnie tak jak napisał kerajs
Re: Równanie wielomianowe
: 31 sie 2023, 21:08
autor: eresh
mosdef21 pisze: ↑31 sie 2023, 20:39
No tego właśnie nie rozumiem
\(a^3=-27p^6=-27 \cdot \frac{b^2}{4}\)
\(a=p^2-4p^2=-3p^2\\
b=2p^3\\
4a^3+27b^2=4\cdot (-27p^6)+27\cdot 4p^6=0\)
Re: Równanie wielomianowe
: 01 wrz 2023, 11:07
autor: eresh
mosdef21 pisze: ↑01 wrz 2023, 10:42
DIękuję bardzo ale mogłaby Pani to rozpisać proszę niezmiernie. Chodzi mnie tylko do tego układu równań czyli te wzory Vietea i to wszystko
Wzory Viete'a dla równania
\(x^3+bx^2+cx+d=0:
\)
\(x_1+x_2+x_3=-b\\
x_1x_2+x_1x_3+x_2x_3=c\\
x_1x_2x_3=-d\)
p - dwukrotny pierwiastek
q - jednokrotny pierwiastek
\(p+p+q=0\\
p\cdot p+p\cdot q+p\cdot q=a\\
p\cdot p\cdot q=-b\)
Re: Równanie wielomianowe
: 01 wrz 2023, 11:29
autor: eresh
mosdef21 pisze: ↑01 wrz 2023, 11:14
Dzięki a dlaczego
\(p+p+q=0\) ta suma jest równa zero
eresh pisze: ↑01 wrz 2023, 11:07
Wzory Viete'a dla równania
\(x^3+bx^2+cx+d=0:
\)
\(x_1+x_2+x_3=-b\\\)
nasze równanie:
\(x^3+ax+b=0\\
x_1=p\\
x_2=p\\
x_3=q\\
\)
Suma rozwiązań jest równa liczbie przeciwnej do współczynnika stojącego przy
\(x^2\) ( u nas tym współczynnikiem jest zero)
Re: Równanie wielomianowe
: 01 wrz 2023, 11:36
autor: mosdef21
A co przyjąć za c w tym równaniu bo w drugim rozpatrywanym przypadku wzór Viete'a wygląda tak \( \frac{c}{a} \)
Re: Równanie wielomianowe
: 01 wrz 2023, 11:40
autor: eresh
mosdef21 pisze: ↑01 wrz 2023, 11:36
A co przyjąć za c w tym równaniu bo w drugim rozpatrywanym przypadku wzór Viete'a wygląda tak
\( \frac{c}{a} \)
\(c\) jest współczynnikiem przy
\(x\) w pierwszej potędze, czyli u nas jest to
\(a\)
Re: Równanie wielomianowe
: 01 wrz 2023, 11:45
autor: mosdef21
Czyli nasze b to d?
Re: Równanie wielomianowe
: 01 wrz 2023, 12:58
autor: eresh
mosdef21 pisze: ↑01 wrz 2023, 11:45
Czyli nasze b to d?
Tak