Pochodne

[Mateusz-22]

Witam, prosiłbym o rozwiązanie zadań
1. Styczna do wykresu funkcji y= \(\frac{1}{ \sqrt{x^3+2x^2+x+2} }\)w punkcie \( x_0 \)=1
A. przechodzi przez punkt (1/2, 1)
B ma współczynnik kierunkowy = ½
C Przechodzi przez punkt (1/2, 0)
D ma taki sam współczynnik kierunkowy jak styczna do wykresu y=x2 w punkcie \(𝑥_0 =1/4\)

2. obliczając przybliżoną wartość ln(1,05) za pomocą wielomianu Taylora stopnia 2 w \(x_0\)=0
A otrzymamy 0,25
B otrzymamy 0,75
C błąd przybliżenia < 10-2
D w obliczeniach podstawiamy x= 0,5

[eresh]

Witam, prosiłbym o rozwiązanie zadań
1. Styczna do wykresu funkcji y= \(\frac{1}{ \sqrt{x^3+2x^2+x+2} }\)w punkcie \( x_0 \)=1
A. przechodzi przez punkt (1/2, 1)
B ma współczynnik kierunkowy = ½
C Przechodzi przez punkt (1/2, 0)
D ma taki sam współczynnik kierunkowy jak styczna do wykresu y=x2 w punkcie \(𝑥_0 =1/4\)

Wyznaczyłeś równanie tej stycznej? Albo chociaż pochodną?

[Mateusz-22]

y'= \( \frac{3x^2+4x+1}{2 \sqrt{x^3+2x^2+x}( \sqrt{x^3+2x^2+x}+2)^2 }\)

[Jerry]

1. Styczna do wykresu funkcji y= \(\frac{1}{ \sqrt{x^3+2x^2+x+2} }\)w punkcie \( x_0 \)=1

Ponieważ
\(f(1)={\sqrt6\over6}\) oraz \(f'(1)=-{\sqrt6\over9}\), to styczna ma równanie
\(y=-{\sqrt6\over9}(x-1)+{\sqrt6\over6}\)
i dopasuj sobie odpowiedzi...

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia

[eresh]

y'= \( \frac{3x^2+4x+1}{2 \sqrt{x^3+2x^2+x}( \sqrt{x^3+2x^2+x}+2)^2 }\)

\(y'=- \frac{3x^2+4x+1}{2 \sqrt{x^3+2x^2+x+2}(x^3+2x^2+x+2)}\)
to teraz sprawdzamy współczynnik kierunkowy, czyli
\(y'(1)=-\frac{8}{2\sqrt{6}\cdot 6}=-\frac{2}{\sqrt{6}\cdot 3}=-\frac{2\sqrt{6}}{18}=-\frac{\sqrt{6}}{9}\neq 0,5\)

styczna:
\(y=-\frac{\sqrt{6}}{9}(x-1)+\frac{1}{\sqrt{6}}\)

dopasuj odpowiedź

[Jerry]

2. obliczając przybliżoną wartość ln(1,05) za pomocą wielomianu Taylora stopnia 2 w \(x_0\)=0

Ponieważ \((\ln x)'={1\over x}\) i \((\ln x)''=-{1\over x^2}\), to w przedziale \([1;b]\) z twierdzenia
\(\ln x\approx 0+(x-1)-{1\over2}\cdot(x-1)^2\)
Pozostaje policzyć
\(\ln1,05\approx\)

Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia

[Zibi123]

Mam podobne Zadanie do zadania 2 dlaczego podstawione jest 1 w \(\ln x\approx 0+(x-1)-{1\over2}\cdot(x-1)^2)\) jeżeli \(x_0=0\) nie powinno być \((x-0)\)?

[eresh]

Mam podobne Zadanie do zadania 2 dlaczego podstawione jest 1 w \(\ln x\approx 0+(x-1)-{1\over2}\cdot(x-1)^2)\) jeżeli \(x_0=0\) nie powinno być x-0?

powinno

[Zibi123]

Tylko mam mały problem jeżeli chodzi o \(\ln0\) to chyba nie istnieje

[Jerry]

... jeżeli \(x_0=0\) nie powinno być \((x-0)\)?

Nie ma sprawy, rozpatrz \(y=f(x)=\ln(x+1)\) i rozwijaj w zerze! Nota bene: w znanej mi treści twierdzenia nie pojawia się \(x_0\)

Ponieważ \((\ln x)'={1\over x}\) i \((\ln x)''=-{1\over x^2}\), to w przedziale \([1;b]\) z twierdzenia
\(\ln x\approx 0+(x-1)-{1\over2}\cdot(x-1)^2\)

Poszukujemy przybliżonej wartości \(\ln1,05\), najlepszą aproksymację otrzymamy dla wystarczająco bliskiego \(a\)
Poza tym sam sobie odpowiadasz:

... \(\ln0\) to chyba nie istnieje

Nie "chyba", na pewno

Pozdrawiam

[Zibi123]

W takim razie rządna z odp nie będzie poprawna? \(Ln(1,05) \approx 0\)?

[maria19]

Wydaje mi się, że należy tu zastosować rozwinięcie w szereg Maclaurina, x=0,05
\(f(x)=\ln(1+x)=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}-...\approx 0,04879 \),

[Jerry]

W takim razie rządna z odp nie będzie poprawna? \(\ln(1,05) \approx 0\)?

\(\ln x\approx 0+(x-1)-{1\over2}\cdot(x-1)^2\)
Pozostaje policzyć
\(\ln1,05\approx\)

\(\ln 1,05\approx 0+(1,05-1)-{1\over2}\cdot(1,05-1)^2=0,04875\)
i wg mnie ... C jest OK

Pozdrawiam
PS.

Wydaje mi się, że należy tu zastosować rozwinięcie w szereg Maclaurina...

a

... za pomocą wielomianu Taylora stopnia 2 ...