Ciąg geometryczny

[avleyi]

Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Pierwsza liczba jest mniejsza od trzeciej o 9, a czwarta liczba jest mniejsza od drugiej o 18.
a. Wyznacz te liczby.
b. Wykaż, że wartość iloczynu początkowych dwudziestu wyrazów ciągu geometrycznego jest równa wartości dziesiątej potęgi iloczynu pierwszego i dwudziestego wyrazu tego ciągu.

[Jerry]

Cztery liczby tworzą ciąg geometryczny. Pierwsza liczba jest mniejsza od trzeciej o 9, a czwarta liczba jest mniejsza od drugiej o 18.
a. Wyznacz te liczby.

\(:\underline{\begin{cases}a_1q^2-a_1=9\\ a_1q^3-a_1q=-18\end{cases}}\\ \qquad{1\over q}={1\over-2}\\
\begin{cases}q=-2\\ a_1=3\end{cases}\)
Odp. \((3,-6,12,-24)\)

Pozdrawiam

[Jerry]

b. Wykaż, że wartość iloczynu początkowych dwudziestu wyrazów ciągu geometrycznego jest równa wartości dziesiątej potęgi iloczynu pierwszego i dwudziestego wyrazu tego ciągu.

\(a_1\cdot a_2\cdot\ldots\cdot a_{20}=a_1\cdot a_1q\cdot a_1q^2\cdot\ldots\cdot a_1q^{19}=a_1^{20}\cdot q^{1+2+3+\ldots+19}=\\
\qquad=a_1^{20}\cdot q^{{1+19\over2}\cdot19}=\left(a_1\cdot a_1q^{19}\right)^{10}=\left(a_1\cdot a_{20}\right)^{10}\)

Pozdrawiam