Strona 1 z 1
Ciag geom o wyrazach dodatnich
: 26 paź 2022, 20:03
autor: avleyi
Spośród wszystkich nieskończonych ciągów geometrycznych \((a_n)\) o wyrazach dodatnich, dla których iloczyn wyrazów \(a_2 \cdot a_3 \cdot a_4\) wynosi 8 znajdź ten, dla którego suma wszystkich wyrazów jest najmniejsza. Podaj tę sumę.
Re: Ciag geom o wyrazach dodatnich
: 27 paź 2022, 10:26
autor: kerajs
\(a^2a^3a^4=8\\
a^3q^6=8\\
aq^2=2\)
Tylko skończoną sumę można zminimalizować więc 0<q<1
\(S(a,q)= \frac{a}{1-q}\\
S(q)= \frac{2}{q^2(1-q)}\\
S'= \frac{6q(q- \frac{2}{3} )}{q^4(1-q)^2} \)
\(S_{min}=S(q=\frac{2}{3} )= \frac{27}{2} \)