Wykaż
: 15 paź 2022, 21:39
że dla \(a,b>1\) jest \(\log_a\frac{a+b}{2}+\log_b\frac{a+b}{2}\ge2\)
\(\log_a\frac{a+b}{2}+\log_b\frac{a+b}{2}\ge \log_a \sqrt{ab} +\log_b \sqrt{ab} =
\frac{1}{2} (\log_aab+\log_bab)= \\ =\frac{1}{2} (1+\log_ab+\log_ba+1)=
\frac{1}{2} (2+ 2 \frac{\log_ab+\log_ba}{2} )\ge \frac{1}{2} (2+ 2 \sqrt{\log_ab\log_ba} )=\\=
\frac{1}{2} (2+ 2 \sqrt{1} )=2
\)
Równość zachodzi dla a=b