forum.zadania.info

W trapezie kąty przy dłuższej podstawie to \(60^ \circ \) i \(30^ \circ \), a długość wysokości trapezu wynosi 6. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw wiedząc, że suma długości ramion jest równa sumie długości podstaw.

avleyi pisze: ↑12 paź 2022, 20:37 W trapezie kąty przy dłuższej podstawie to \(60^ \circ \) i \(30^ \circ \), a długość wysokości trapezu wynosi 6. Oblicz pole trapezu oraz długości jego podstaw wiedząc, że suma długości ramion jest równa sumie długości podstaw.

trapez ABCD
DE, CF - wysokości

\(\tg 60^{\circ}=\frac{|DE|}{|AE|}\\
|AE|\sqrt{3}=6\\
|AE|=2\sqrt{3}\)

\(\tg 30^{\circ}=\frac{6}{|BF|}\\
\frac{\sqrt{3}}{3}|BF|=6\\
|BF|=6\sqrt{3}\)

\(|AD|=\sqrt{6^2+(2\sqrt{3})^2}\\
|AD|=4\sqrt{3}\)

\(|CB|=\sqrt{36+(6\sqrt{3})^2}\\
|CB|=12\)

\(12+4\sqrt{3}=|DC|+2\sqrt{3}+|EF|+6\sqrt{3}\\
12-4\sqrt{3}=2|DC|\\
|DC|=|EF|=6-2\sqrt{3}
\)

\(P=\frac{2\sqrt{3}+6-2\sqrt{3}+6\sqrt{3}+6-2\sqrt{3}}{2}\cdot 6\\
P=12\sqrt{3}+36\)

Albo: traktując dany trapez jako mnogościową różnicę dwóch trójkątów prostokątnych (oznaczenia jak na rysunku) i bawiąc się własnościami trójkąta charakterystycznego mamy:

• \(|WC|=2x,\ |DW|={2x\over\sqrt3},\ |DC|={4x\over\sqrt3}\)
• \(|WB|=2(x+6),\ |AW|={2(x+6)\over\sqrt3},\ |AB|={4(x+6)\over\sqrt3}\)

Pozostaje do rozwiązania równanie
\[{4x\over\sqrt3}+{4(x+6)\over\sqrt3}=\left(2(x+6)-2x\right)+\left({2(x+6)\over\sqrt3}-{2x\over\sqrt3}\right)\]
i wnioski

Pozdrawiam