Okrąg, styczna i sieczna

[avleyi]

Punkt P jest odległy o 14 cm od środka okręgu o promieniu 8cm.
a) Przez punkt P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A. Oblicz długość PA.
b) Przez punkt P poprowadzono sieczną przecinającą okrąg w punktach A i B oraz |PA|=|PB|. Oblicz |AB|

[Jerry]

Punkt P jest odległy o 14 cm od środka okręgu o promieniu 8cm.
a) Przez punkt P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A. Oblicz długość PA.

Zrób schludny rysunek i zauważ istnienie trójkąta prostokątnego. Wtedy
\(|PA|^2=14^2-8^2=6\cdot22\So |PA|=2\sqrt{33}\)

Pozdrawiam

[Jerry]

Punkt P jest odległy o 14 cm od środka okręgu o promieniu 8cm.
a) Przez punkt P poprowadzono styczną do okręgu w punkcie A. Oblicz długość PA.
b) Przez punkt P poprowadzono sieczną przecinającą okrąg w punktach A i B oraz |PA|=|PB|. Oblicz |AB|

Nie ogarniam... Punkt \(A\) był punktem styczności, a tu nagle punktem sieczności?

Pozdrawiam

[avleyi]

Nie ogarniam... Punkt \(A\) był punktem styczności, a tu nagle punktem sieczności?

Pozdrawiam


to są dwa oddzielne punkty

[Jerry]

to są dwa oddzielne punkty

OK, ale to

Punkt P jest odległy o 14 cm od środka okręgu o promieniu 8cm.
b) Przez punkt P poprowadzono sieczną przecinającą okrąg w punktach A i B oraz |PA|=|PB|. Oblicz |AB|

nadal raczej niemożliwe - punkt \(P\) jest punktem zewnętrznym koła wyznaczonego przez ten okrąg i po siecznej nie może być równoodległy od punktów okręgu... Spróbuję tak:

Przez punkt \(P\) poprowadzono sieczną przecinającą okrąg w punktach \(A\) i B oraz \(|PA|=\color{red}{|AB|}\). Oblicz \(|AB|\)

Z twierdzenia o potędze punktu względem okręgu (Wy to chyba nazywacie tw. o siecznej i stycznej) mamy
\(|PA|\cdot|PB|=14^2-8^2\)
Wobec
\(|PB|=|PA|+|AB|=2\cdot|PA|\)
mamy
\(|PA|\cdot2 |PA|=132\iff |PA|=\sqrt{66}=|AB|\)

Pozdrawiam