forum.zadania.info

Mam do obliczenia całkę:
\(\int{1\over{t+1}}dt\)

Obliczyłem ją na dwa sposoby, nie rozumiem dlaczego wynik wychodzi inny.

\(\int{1\over{t+1}}dt\)=\(\int{du\over{u}}=ln|u|+C\)
\(u = t + 1\)
\(du = dt\)

\(\int{1\over{t+1}}dt=\int{1\over{\sqrt{t}^2+1^2}}dt = \arctg{\sqrt{t}} + C\)

Drugi sposób jest błędny.
Zawsze, w przypadku kiedy licznik jest pochodną mianownika to całka jest logarytmem naturalnym z modułu mianownika

A czy można to wytłumaczyć z czysto matematycznego/arytmetycznego punktu widzenia?

mikolajkapica pisze: ↑13 wrz 2022, 09:15 A czy można to wytłumaczyć z czysto matematycznego/arytmetycznego punktu widzenia?

To znaczy... ?
\[\int{1\over{t+1}}dt=\arctg{\sqrt{t}} + C\iff(\arctg{\sqrt{t}})' \nad{\color{red}{?}}{=}{1\over{t+1}} \]
Pozdrawiam

mikolajkapica pisze: ↑12 wrz 2022, 16:47 Mam do obliczenia całkę:
\(\int{1\over{t+1}}dt\)

Obliczyłem ją na dwa sposoby, nie rozumiem dlaczego wynik wychodzi inny.

\(\int{1\over{t+1}}dt\)=\(\int{du\over{u}}=ln|u|+C\)
\(u = t + 1\)
\(du = dt\)

\(\int{1\over{t+1}}dt=\int{1\over{\sqrt{t}^2+1^2}}dt = \arctg{\sqrt{t}} + C\)

Ojj pamiętam całki, był to jeden z warunków koniecznych do zdania pierwszego roku na wydziale chemii. Doskonale pamietam pierwszy sposób, metoda podstawiania. Drugiej metody nie kojarzę.. Dobrym wg mnie oczywiście, podręcznikiem do ćwiczenia całek jest Krysicki Włodarski- mnie ta książka pomogła, a polecana była z kolei przez pana dr - z którym miałam ćwiczenia, przez profesora już mniej - on to zawsze polecał podręcznik Franciszka Lei , studenci wyższych lat.

A dla jeszcze bardziej wiekowych/zaawansowanych "Rachunek rożniczkowy i całkowy" G.Fischtenholza w 3 tomach.

Jerry pisze: ↑13 wrz 2022, 10:09

mikolajkapica pisze: ↑13 wrz 2022, 09:15 A czy można to wytłumaczyć z czysto matematycznego/arytmetycznego punktu widzenia?

To znaczy... ?
\[\int{1\over{t+1}}dt=\arctg{\sqrt{t}} + C\iff(\arctg{\sqrt{t}})' \nad{\color{red}{?}}{=}{1\over{t+1}} \]
Pozdrawiam

Nadal nie rozumiem do końca, bo gdyby założyć że:
\(u^2=t\)
To dostajemy całkę:
\(\int{{1}\over{t+1}}dt=\int{{1}\over{u^2+1^2}}dt = ..\)
I zgodnie ze wzorem całkowym:
\(\int{{dx}\over{x^2+a^2}} = {{1}\over{a}}arctg{{x}\over{a}}+C\)
Dlatego:
\(\int{{1}\over{u^2+1^2}}dt = {{1}\over{1}}arctg{{u}\over{1}}+C= arctgu+C=arctg\sqrt{t}+C\)
Bardzo zależy mi na tym problemie, proszę o pomoc

mikolajkapica pisze: ↑14 wrz 2022, 16:14
Nadal nie rozumiem do końca, bo gdyby założyć że:
\(u^2=t\)
To dostajemy całkę:
\(\int{{1}\over{t+1}}dt=\int{{1}\over{u^2+1^2}}dt = ..\)

no właśnie.
Teraz trzeba wyrazić dt przez du :
\(u^2=t\)
\( \frac{dt}{du}=2u \)
\(dt=2udu\)
\(\int{{1}\over{t+1}}dt=\int{{1}\over{u^2+1^2}}dt = \int{{2u}\over{u^2+1^2}} du=\ln |u^2+1|+C=\ln |t+1|+C\)

Rozumiem już! Dziękuję za pomoc!

maria19 pisze: ↑14 wrz 2022, 11:57 A dla jeszcze bardziej wiekowych/zaawansowanych "Rachunek rożniczkowy i całkowy" G.Fischtenholza w 3 tomach.

Też kojarzę