forum.zadania.info

Znajdź ciąg \((an)\) zadany (dla \(n ≥ 3\)) zależnością rekurencyjną
\(a_n = 2a_{n−1} + 4a_{n−2} − 8a_{n−3} + 4 · 2^n\)

oraz warunkami początkowymi \(a_0 = 0,\ a_1 = a_2 = 8\). Zapisz jego wzór ogólny w najprostszej możliwej postaci.

\(r^3-2r^2-4r+8=0\\
(r-2)^2(r+2)=0\\
a(n)=a_j+a_{nj}\\
a_n=A2^n+Bn2^n+C(-2)^2+Dn^22^n\)
Wylicz z rekurencji \(a_3\), a następnie rozwiąż układ równań:
\( \begin{cases} a_3=A \cdot 2^3+3B \cdot 2^3+C \cdot (-2)^3+9D \cdot 2^3 \\ a_2=A \cdot 2^2+2B \cdot 2^2+C \cdot (-2)^2+4D \cdot 2^2 \\ a_1=A \cdot 2^1+B \cdot 2^1+C \cdot (-2)^1+D \cdot 2^1 \\ a_0=A \cdot 2^0+C \cdot (-2)^0 \end{cases} \)
aby wyznaczyć stałe A,B,C i D.