forum.zadania.info

Niech E i D będą dwoma punktami znajdującymi się odpowiednio na bokach [BC] i [AB] trójkąta ABC takimi, że BE = 3EC i DA = DB i przyjmiemy, że ∠ADC=∠BAE. Oblicz miarę kąta ABC.

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku, z szybkimi wnioskami z tw. Talesa. Niech \(\alpha\in\left(0;{\pi\over2}\right)\)

   

2. z \(\Delta DBC: \frac{20x}{\sin\beta}=\frac{8a}{\sin(\pi-\alpha)}\\ a=\frac{5\\sin\alpha}{2\sin\beta}x\)
3. z \(\Delta APS: \frac{2c}{12x}=\cos\alpha\\ c=6x\cos\alpha\)
4. z \(\Delta DBM: \frac{4c}{\sin(\pi-\alpha-\beta)}=\frac{3a}{\sin\alpha}\\ \frac{24\cos\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}x=\frac{15\sin\alpha}{2\sin\alpha\sin\beta}x\\ \ldots\\ \tg\beta={5\over11}\tg\alpha\)

Odp. Istnieje nieskończenie wiele trójkątów spełniających warunki zadania, \(|\angle ABC|=\arctg\frac{5\tg\alpha}{11}\wedge\alpha\in\left(0;{\pi\over2}\right)\)

Pozdrawiam