forum.zadania.info

Dany jest nieskończony ciąg geometryczny \((a_n)\), określony dla każdej liczby naturalnej \(n \ge 1\), którego iloraz q jest równy pierwszemu wyrazowi i spełnia warunek IqI<1. Stosunek sumy \(S_n\) wszystkich wyrazów tego ciągu o numerach nieparzystych do sumy \(S_p\) wszystkich wyrazów parzystych jest równy różnicy tych sum, tj. \( \frac{S_n}{S_p}=S_n-S_p\). Oblicz q.

Wstawiając:
\(S_n= \frac{a_1}{1-q^2}= \frac{q}{1-q^2} \\
S_p= \frac{a_1q}{1-q^2}= \frac{q^2}{1-q^2}\)
do równania mam:
\( \frac{1}{q}=\frac{q}{1-q^2}-\frac{q^2}{1-q^2} \\
\frac{1}{q}=\frac{q}{1+q} \\
q^2-q-1=0\\
q_1= \frac{1- \sqrt{5} }{2} \ \ \vee \ \ q_2= \frac{1+ \sqrt{5} }{2} \)
jednak tylko pierwsze rozwiązanie spełnia warunek \(|q|<1\)