forum.zadania.info

... \(ABCD\) na bokach \(\overline{DA},\, \overline{AB},\, \overline{BC},\, \overline{CD}\) znajdują się, odpowiednio, punkty \(K,\,L,\, M,\, N\) takie, że \(\frac{|AK|}{|KD|}=\frac{|BM|}{|MC|}=p\) oraz \(\frac{|AL|}{|LB|}=\frac{|DN|}{|NC|}=q\). Wykaż, że odcinki \(\overline{KM},\, \overline{LN}\) przecinają się w punkcie \(P\) takim, że \(\frac{|LP|}{|PN|}=p\) oraz \(\frac{|KP|}{|PM|}=q\).

Rozwiązania:

1. Położyłem dany czworokąt w układzie współrzędnych tak, że
   \(A(a,0),\, B((b,0),\, C(c_1,c_2), \, D(0,d)\) (gdzie \(a<b,\, c_1,c_2,d\in\rr_+\))
   i kolejno wskazywałem punkty \(K,L,M,N\), proste \(KM,LN\), punkt \(P\). Pozostało tylko policzyć szukane stosunki...
2. Autorskie (fizyczne):
   Rozpatrzmy układ czterech mas punktowych, takich, że
   \(m_A=1,\, m_B=q,\, m_C=pq,\, m_D=p\)
   i wskażmy (na dwa sposoby - "sklejając" masy parami w środku ciężkości tych par) środek ciężkości tego układu mas:
   • \(m_L=1+q,\, m_N=p+pq\)
   • \(m_K=1+p,\, m_M=q+pq\)
   \(P\) jest szukanym środkiem ciężkości tego układu mas punktowych i zachodzą żądane stosunki.

Pozdrawiam