Uzasadnij że jest to równoległobok.

[attec18]

W czworokącie wypukłym połowa obwodu jest równa sumie odcinków łączących punkty środkowe przeciwległych boków. Uzasadnij że jest to równoległobok.

[Jerry]

Lemat:
W \(\Delta ABC\), w którym \(|BC|=a,\, |AC|=b\) i środkowa \(|MC|=s\) zachodzi
\[s<\frac{a+b}{2}\]
D-d:
Niech \(C'=S_M(C)\) jak na rysunku

lemat.jpg

wtedy z nierówności trójkąta dla \(\Delta C'BC\) mamy \(2s<a+b\) co jest równoważne tezie lematu

Wniosek:
Nierówność przejdzie w równość, jeżeli trójkąt zdegeneruje się do odcinka, czyli \(\overline{BC} \parallel \overline{AC}\).

Załóżmy, że co najmniej jedna para boków przeciwległych nie jest równoległa. Wtedy

1. Przyjmijmy oznaczenia jak na rysunku:
   001.jpg
   gdzie \(A_1ABM,\, D_1MCD\) są równoległobokami
2. \(\Delta A_1AK\equiv\Delta KD_1D\, (BKB)\), zatem \(A_1,\, K,\, D_1\) są współliniowe i \(\overline{KM}\) jest środkową \(\Delta A_1MD_1\)
3. z lematu: \(|KM|<\frac{|AB|+|CD|}{2}\)
4. analogicznie: \(|LN|<\frac{|BC|+|DA|}{2}\)
5. jeżeli zachodzi 3. lub 4., to
   \(|KM|+|LN|<\frac{|AB|+|BC|+|CD|+|DA|}{2}\),
   co jest sprzeczne z
   \(|KM|+|LM|=\frac{|AB|+|BC|+|CD|+|DA|}{2}\)
   Zatem założenie, że co najmniej jedna para boków przeciwległych nie jest równoległa jest fałszywe. CKD

Pozdrawiam
PS. Zadanie to przypomniało mi zadanie z OMa z lat siedemdziesiątych poprzedniego wieku, umieszczę go w innym wątku i dodam link

[edited] Obiecane zadanie, z którego wynika ponadprogramowo, że w tym zadaniu \(\overline{KM},\, \overline{LN}\) połowią się (do wykazania tezy zadania - wg mnie nieprzydatne!).

[anilewe_MM]

Ile zadań z geometrii trzeba rozwiązać, żeby widzieć takie rzeczy?