forum.zadania.info

Dane są dwie miary prawdopodobieństwa \(P\) i \(Q\) na \( \rr \) takie, że \(P({1})= \frac{1}{2}\), \(P({2})=\frac{1}{3}\), \(P({3})= \frac{1}{6}\), \(Q({1})= \frac{1}{4}\), \(Q({3})= \frac{3}{4}\). Czy któraś z nich jest absolutnie ciągła względem drugiej (odpowiedź uzasadnić)? Jeżeli tak, to wyznaczyć jej gęstość względem drugiej miary.

Wszystkie miary prawdopodobieństwa można podzielić na trzy kategorie: dyskretne, bezwzględnie ciągłe i miary mieszane (tzn. składające się z ciągłej i dyskretnej części).

Miara prawdopodobieństwa jest bezwzględnie ciągła względem innej miary, jeśli każdy zbiór o miarze zero względem jednej miary jest również zbiorem o miarze zero względem drugiej miary.

W tym przypadku łatwo można sprawdzić, że żadna z miar nie jest bezwzględnie ciągła względem drugiej. Możemy to zobaczyć, obliczając miary zbiorów jednopunktowych: dla miary \(P\) mamy \(P({1})=\frac{1}{2}>0\), a dla miary \(Q\) mamy \(Q({1})=\frac{1}{4}>0\). Zatem żadna z miar nie jest bezwzględnie ciągła względem drugiej.

Można również sprawdzić, że żadna z miar nie jest mieszana, tzn. nie można jej zapisać w postaci sumy miary bezwzględnie ciągłej i dyskretnej miary, więc nie ma sensu szukać gęstości jednej miary względem drugiej.

Podsumowując, żadna z miar \(P\) i \(Q\) nie jest absolutnie ciągła względem drugiej i nie da się wyznaczyć gęstości jednej miary względem drugiej.