forum.zadania.info

Obliczyć pole powierzchni bocznej bryły obrotowej otrzymanej z obrotu wykresu funkcji \(y=sinx \), gdzie \(x\in [0, \frac{\pi}{2} ]\), wokół osi OX.

Mam problem z obliczeniem całki do końca:
\(
\int sinx\sqrt{1+cos^2x} dx = (cos=u \So -sinx dx = du) = -\int \sqrt{1+u^2} = (u=tg \alpha \So du= \frac{1}{cos^2 \alpha }d \alpha ) =
\\
=-\int \sqrt{ \frac{cos^2\alpha + sin^2\alpha}{cos^3\alpha} }d\alpha =-\int(\frac{sin^2\alpha}{cos^3\alpha} + \frac{1}{cos\alpha})d\alpha
\)

Konkretnie, nie wiem jak ruszyć dalej \(\int\frac{sin^2\alpha}{cos^3\alpha} d\alpha\).

Iluminati91 pisze: ↑03 lip 2022, 20:25 Konkretnie, nie wiem jak ruszyć dalej \(\int\frac{sin^2\alpha}{cos^3\alpha} d\alpha\)

Przemnóż licznik i mianownik przez \( \cos (\alpha) \) i następnie podstaw \( t = \sin (\alpha) \). Otrzymasz całkę:
\( \int \frac{t^2}{(1-t^2)^2} dt = \int t \cdot \frac{t}{(1-t^2)^2} dt \)
Dla której natychmiast nasuwa się całkowanie przez części.
P.S.
W momencie:
\( \int \sqrt{1 + u^2} du \) osobiście podstawiłbym \( u = \sinh (t) \). Zaletą będzie unikniecie całkowania przez części.