Płaszczyzna i prosta

[_Dawid_]

Witam, mam oto takie zadanie
1.Znaleźć prostą przechodzącą przez punkt A(−1, 2, 3) i prostopadłą do płaszczyzny Π : 2x − z -8 = 0
2. Napisać równania prostej przechodzącej przez punkt P(1, 0, 1) i równoległej do płaszczyzn
π1 : x + y − z − 1 = 0, π2 : 2y + z = 0
Jak mam to rozwiązać?

Co do drugiego to trzeba wyznaczyć więcej niż jedno równanie ?
Ogólnie jeżeli mam podane w zadaniu że prosta ma być równoległa/prostopadła do płaszczyzn(y) to w obu przypadkach korzystam z iloczynu wektorowego?

W drugim mam po prostu zrobić iloczyn wektorów wziętych z płaszczyzn i napisać równanie prostej w postaci parametrycznej i koniec?
Czy prosta prostopadła do 2 płaszczyzn jest równoległa do ich krawędzi czy niekoniecznie bo prosta się nie będzie przecinać z płaszczyznami?

[radagast]

Witam, mam oto takie zadanie
1.Znaleźć prostą przechodzącą przez punkt A(−1, 2, 3) i prostopadłą do płaszczyzny Π : 2x − z -8 = 0

\(\left[ 2,0,-1\right]\) -wektor prostopadły do płaszczyzny , a więc równoległy do prostej
Równanie prostej w postaci parametrycznej: \( \begin{cases} x=2t-1\\y=2\\z=-t+3\end{cases} \)

[radagast]

2. Napisać równania prostej przechodzącej przez punkt P(1, 0, 1) i równoległej do płaszczyzn
π1 : x + y − z − 1 = 0, π2 : 2y + z = 0

W drugim mam po prostu zrobić iloczyn wektorów wziętych z płaszczyzn i napisać równanie prostej w postaci parametrycznej i koniec?

tak
mi wyszło
\( \begin{cases} x=3t+1\\y=-t\\z=2t+1\end{cases} \)
(do sprawdzenia. Ja się często mylę )

[_Dawid_]

Witam, mam oto takie zadanie
1.Znaleźć prostą przechodzącą przez punkt A(−1, 2, 3) i prostopadłą do płaszczyzny Π : 2x − z -8 = 0

\(\left[ 2,0,-1\right]\) -wektor prostopadły do płaszczyzny , a więc równoległy do prostej
Równanie prostej w postaci parametrycznej: \( \begin{cases} x=2t-1\\y=2\\z=-t+3\end{cases} \)

[_Dawid_]

Ogólnie mam pytanie czy ma to znaczenie czy w zadaniu pisze że jest prostopadła czy równoległa do płaszczyzny? Z tego co zauważyłem to zawsze tok działania jest ten sam?

[radagast]

No pewnie , że ma ! Jak prostopadła , to nie równoległa ( i na odwrót)

[_Dawid_]

W tym sensie to tak, ale w liczeniu to i tak zawsze liczę iloczyn wektorowy

[radagast]

Nieprawda, jeśli prosta jest prostopadła do płaszczyzny to jej wektor kierunkowy masz "za darmo " (nie trzeba nic liczyć) - patrz zadanie 1.

[_Dawid_]

W takim razie w zadaniach gdy występuję prostopadłość to mam dużo prościej niż gdy występuję równoległość. Bo ogólnie zauważyłem, że nie ma schematów do zadania z geometrii analitycznej

[_Dawid_]

Witam, mam oto takie zadanie
1.Znaleźć prostą przechodzącą przez punkt A(−1, 2, 3) i prostopadłą do płaszczyzny Π : 2x − z -8 = 0

\(\left[ 2,0,-1\right]\) -wektor prostopadły do płaszczyzny , a więc równoległy do prostej
Równanie prostej w postaci parametrycznej: \( \begin{cases} x=2t-1\\y=2\\z=-t+3\end{cases} \)

Czyli jak muszę znaleźć równanie/równania? prostej to wystarczy zostawić w postaci krawędziowej lub parametrycznej?
Równania - czyli mam wypisać obie postacie?

[radagast]

Wystarczy jedna postać.