Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej x i dla każdej liczby rzeczywistej y takich, że \(x \neq y\), spełniona jest nierówność
\(x^4+y^4>xy(x^2+y^2)\)
Wykaż,że ....
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
-
- Fachowiec
- Posty: 1608
- Rejestracja: 01 lip 2010, 10:44
- Podziękowania: 1680 razy
- Otrzymane podziękowania: 3 razy
Re: Wykaż,że ....
To jest zadanie z matury dodatkowej rozszerzonej z 02.06.22.. Niewielu poradziło sobie z tym zadaniem.
-
- Fachowiec
- Posty: 2963
- Rejestracja: 14 lis 2016, 14:38
- Podziękowania: 33 razy
- Otrzymane podziękowania: 1303 razy
- Płeć:
Re: Wykaż,że ....
a) \(y=0\) to \(x^4>0\)
b) \(y \neq 0\) to dzielę nierówność przez \(y^4\) dostając
\((\frac{x}{y})^4+1> \frac{x}{y}((\frac{x}{y})^2+1)\)
Przyjmuję \(t=\frac{x}{y}\) co daje
\(t^4+1>t(t^2+1)\\
t^4-t^3-t+1>0\)
Abiturient może zbadać lewą stronę znajdując minimum dla t=1
lub zwinąć:
\(t^3(t-1)-(t-1)>0\\
(t-1)^2(t^2+t+1)>0\)
dostając odpowiednik nierówności z pierwszej odpowiedzi.
b) \(y \neq 0\) to dzielę nierówność przez \(y^4\) dostając
\((\frac{x}{y})^4+1> \frac{x}{y}((\frac{x}{y})^2+1)\)
Przyjmuję \(t=\frac{x}{y}\) co daje
\(t^4+1>t(t^2+1)\\
t^4-t^3-t+1>0\)
Abiturient może zbadać lewą stronę znajdując minimum dla t=1
lub zwinąć:
\(t^3(t-1)-(t-1)>0\\
(t-1)^2(t^2+t+1)>0\)
dostając odpowiednik nierówności z pierwszej odpowiedzi.
- Jerry
- Expert
- Posty: 3543
- Rejestracja: 18 maja 2009, 09:23
- Podziękowania: 51 razy
- Otrzymane podziękowania: 1948 razy
Re: Wykaż,że ....
Bardziej "szkolnie", dochodząc oczywiście do wniosku kerajsa:
\(w(x,y)=x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=x^4-xy^3-x^3y+y^4=x(x^3-y^3)-y(x^3-y^3)=\\
\qquad=(x-y)(x^3-y^3)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)=(x-y)^2\left[\left(x+{1\over2}y\right)^2+{3\over4}y^2\right]\ge0
\)
i równość zachodzi dla \(x=y\)
Pozdrawiam
\(w(x,y)=x^4+y^4-xy(x^2+y^2)=x^4-xy^3-x^3y+y^4=x(x^3-y^3)-y(x^3-y^3)=\\
\qquad=(x-y)(x^3-y^3)=(x-y)^2(x^2+xy+y^2)=(x-y)^2\left[\left(x+{1\over2}y\right)^2+{3\over4}y^2\right]\ge0
\)
i równość zachodzi dla \(x=y\)
Pozdrawiam