Pytanie dotyczące geometrii

[lenteldem]

Pytanie:

Mając równoległobok ABCD, gdzie BC = 2AB, E, F leżą na prostej AB tak, że AE = AB = BF. Połącz CE, DF. Pokaż, że CE ⊥ DF.

Dowód. (Rozwiązanie z podręcznika)

Niech AD, CE przecinają się w G i BC, DF przecinają się w H. Ponieważ ABCD jest równoległobokiem, mamy AE // CD i AE = AB = CD, co implikuje, że ACDE jest również równoległobokiem. Stąd AD, CE przecinają się na pół. Ponieważ AD = 2AB, DG = AB = CD. Podobnie CH = CD (1). Wynika z tego, że CDGH jest rombem (2) i stąd CE ⊥DF.

Moje pytania):

(1) CH=CD jest w rzeczywistości trudniejsze niż się spodziewano... czy ktoś może dać wskazówkę?

(2) Wykazaliśmy, że: DG=CD=CH. A co z GH? Czy nie musimy pokazywać DG=CD=CH=GH?

Z góry dziękuję.

[Jerry]

Zrób schludny rysunek, a wszystkie Twoje wątpliwości powinny zniknąć...

Ja bym poszedł z podobieństwa trójkątów

• \(\Delta EAG\sim\Delta EBC\,(kk)\So |GA|={1\over2}\cdot|BC|=|AB|\)
• \(\Delta BFH\sim\Delta AFD\,(kk)\So |BH|={1\over2}\cdot|AD|=|AB|\)

zatem \(ABHG\) jest rombem, czyli druga połowa danego równoległoboku: \(GHCD\) też jest rombem...

Pozdrawiam
PS.

Jeżeli sąsiednie boki równoległoboku są równej długości, to ten równoległobok jest rombem!