forum.zadania.info

Oblicz granicę \( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{ \sin (x^3+y^3)}{x^2+y^2} \)

\( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{ \sin (x^3+y^3)}{x^2+y^2} =\Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{ \sin (x^3+y^3)}{x^3+y^3} \cdot\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=1\cdot0=0\)
bo
\(\Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}x=0\)

Pozdrawiam

Jerry pisze: ↑12 cze 2022, 19:14 \( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \)

Jak mamy rozumieć ten zapis?

Icanseepeace pisze: ↑12 cze 2022, 20:53

Jerry pisze: ↑12 cze 2022, 19:14 \( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \)

Jak mamy rozumieć ten zapis?

\( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=\Lim_{x\to0} x=0 \)

radagast pisze: ↑12 cze 2022, 21:57

Icanseepeace pisze: ↑12 cze 2022, 20:53

Jerry pisze: ↑12 cze 2022, 19:14 \( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2} \)

Jak mamy rozumieć ten zapis?

\( \Lim_{(x,y)\to (0,0)} \frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0}\frac{x^3+y^3}{x^2+y^2}=\Lim_{x\to0}\frac{x^3}{x^2}=\Lim_{x\to0} x=0 \)

Chodzi mi bardziej o to jak mam ten zapis rozumieć.
Najpierw liczę granicę po y a x traktuję jako stała?
Idąc tym tokiem rozumowania granica:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} \)
powinna zostać rozpisana jako:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{x\to0}\Lim_{y\to0} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{x\to0} \frac{x^2}{x^4} = \infty \)
czy jako:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{y\to0}\Lim_{x\to0} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} = \Lim_{y\to0} \frac{y^8}{y^4} = 0 \)
Który z tych wyników jest poprawny?

Icanseepeace pisze: ↑13 cze 2022, 09:00 Chodzi mi bardziej o to jak mam ten zapis rozumieć.
Najpierw liczę granicę po y a x traktuję jako stała?

Tak, poszedłem po linii najmniejszego formalizmu... Wartości granicznej nie negujesz?

Icanseepeace pisze: ↑13 cze 2022, 09:00 Idąc tym tokiem rozumowania granica:
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4} \)
powinna zostać rozpisana ...

Nie, tym razem napisałbym np.:
Niech \(\begin{cases}x=at\\y=bt\end{cases}\wedge a^2+b^2>0\). Wtedy
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4}=\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2t^2 + b^8t^8}{a^4t^4 + b^4t^4}=
\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2 + b^8t^6}{t^2(a^4 + b^4)}=\begin{cases}0&\text{dla}& a=0\\ +\infty&\text{dla}&a\ne0\end{cases}\)
Czyli granica nie istnieje!
Wg mnie w granicy z wątku nie było to konieczne, chociaż zgodzę się z Tobą, że mogłem przynajmniej napisać również granicę po \(y\) z granicy po \(x\) ...

Pozdrawiam

[edited] poprawa redakcji postu

Jerry pisze: ↑13 cze 2022, 12:54 Nie, tym razem napisałbym np.:
Niech \(\begin{cases}x=at\\y=bt\end{cases}\wedge a^2+b^2>0\). Wtedy
\( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} \dfrac{x^2 + y^8}{x^4 + y^4}=\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2t^2 + b^8t^8}{a^4t^4 + b^4t^4}=
\Lim_{t\to0}\dfrac{a^2 + b^8t^6}{t^2(a^4 + b^4)}=\begin{cases}0&\text{dla}& a=0\\ +\infty&\text{dla}&a\ne0\end{cases}\)
Czyli granica nie istnieje!

Czyli tutaj nie możemy użyć twojego podejścia. Jesteś wstanie podać jakieś ograniczenia na funkcję tak aby jednak twoje przekształcenia dawały poprawny wynik? Pytam bo pierwszy raz spotykam się z takim sposobem podchodzenia do granicy dwóch zmiennych.

Jerry pisze: ↑13 cze 2022, 12:54 Wg mnie w granicy z wątku nie było to konieczne, chociaż zgodzę się z Tobą, że mogłem przynajmniej napisać również granicę po \(y\) z granicy po \(x\)

Niestety to za mało. Nawet jeżeli \( \Lim_{x\to0} \Lim_{y \to 0} f(x,y) \) oraz \( \Lim_{y\to0} \Lim_{x \to0} f(x,y) \) istnieją i są sobie równe \( g \) to nie musi oznaczać, że \( \Lim_{(x,y) \to (0,0)} f(x,y) = g \). Kontrprzykład można bardzo łatwo znaleźć.

Reasumując: Fajny sposób, ale jak dla mnie trochę ryzykowny(wydaje mi się, że musimy coś więcej wiedzieć o funkcji przed rozpoczęciem badania granicy). W szczególności, że mamy bardzo fajną i prostą w uzasadnieniu nierówność:
\( \left|\frac{x^3 + y^3}{x^2 + y^2} \right| \leq |x| + |y| \).
która również rozwiązuje problem.