Strona 1 z 1
Wykaż, że w trapezie
: 08 cze 2022, 11:43
autor: matematyka1234+
Punkt \(P\) jest punktem przecięcia przekątnych trapezu \(ABCD\). Długość podstawy \(CD\) jest o \(2\) mniejsza od długości podstawy \(AB\). Promień okręgu opisanego na trójkącie ostrokątnym \(CPD\) jest o 3 mniejszy od promienia okręgu opisanego na trójkącie \(APB\). Wykaż, że spełniony jest warunek \(|DP|^2 + |CP|^2 − |CD|^2 = 4\sqrt{23} ⋅ |DP| ⋅ |CP|\).
Re: Wykaż, że w trapezie
: 08 cze 2022, 12:41
autor: Jerry
Zrób schludny rysunek, niech \(|AB|=a,\, r\) będzie promieniem okręgu opisanego na \(\Delta ABP\), \(|\angle APB|=|\angle APB|=\gamma\in(0;{\pi\over2})\). Wtedy
- \(\Delta ABP\sim\Delta PCD\, (kk)\)
\({a\over r}={a-2\over r-3}\iff r={3\over2}a\)
- Z \(\Delta ABP\) i wzoru sinusów:
\({a\over\sin\gamma}=2r\)
Wobec 1. mamy
\(\sin\gamma={1\over3}\)
- Z "wielkiej jedynki" trygonometrycznej
\(\cos\gamma=+\sqrt{1-({1\over3})^2}={2\sqrt2\over3}\)
- Z \(\Delta PCD\) i wzoru cosinusów:
\(|CD|^2=|CP|^2+|DP|^2-2\cdot{2\sqrt2\over3}\cdot |CP|\cdot|DP|\)
jest sprzeczne z Twoją tezą
Pozdrawiam
PS. Nie podpinaj się pod cudze wątki i pisz "matematykę" w kodzie - nie będzie dochodziło do nieporozumień