Szereg

[avleyi]

Rozwiąż dane równanie:
a) \( \sin2x + \frac{\sin2x}{3} + \frac{\sin2x}{9} + ... = 3\cos x \)

b) \( \tg2x + \frac{1}{2} \tg2x + \frac{1}{4} \tg2x + ... =\tg x \)

c) \( \frac{\cos2x}{4} - \frac{\cos2x}{16} + \frac{\cos2x}{64} - ... = 0,2\sin2x \)

[Jerry]

a) \( sin2x + \frac{sin2x}{3} + \frac{sin2x}{9} + ... = 3cosx \)

\(\sin2x\left(1+{1\over3}+{1\over9}+\ldots\right)=3\cos x\wedge D=\rr\)
Ponieważ
\(1+{1\over3}+{1\over9}+\ldots=\dfrac{1}{1-{1\over3}}={3\over2}\)
to dane równanie jest równoważne
\(2\sin x\cos x\cdot{3\over2}=3\cos x\)
co prowadzi do
\(\cos x=0\vee \sin x=1\)
czyli
\(x={\pi\over2}+k\cdot\pi\wedge k\in\zz\)

Pozdrawiam
PS. Pozostałe - analogicznie

[avleyi]

a mógłbyś wytłumaczyć jak doszło do tego równania: \( 2\sin x\cos x\cdot{3\over2}=3\cos x \) i jak to sprowadziło do tego wyniku?

[Jerry]

a mógłbyś wytłumaczyć jak doszło do tego równania: ...

\(\color{blue}{\sin2x}\left(\color{red}{1+{1\over3}+{1\over9}+\ldots}\right)=3\cos x\wedge D=\rr\)
Ponieważ
\(\color{red}{1+{1\over3}+{1\over9}+\ldots=\dfrac{1}{1-{1\over3}}={3\over2}}\)
to dane równanie jest równoważne
\(\color{blue}{2\sin x\cos x}\cdot\color{red}{{3\over2}}=3\cos x\)

i jak to sprowadziło do tego wyniku?

\(3\sin x\cos x-3\cos x=0\\3\cos x(\sin x -1)=0\)
co prowadzi do
\(\cos x=0\vee \sin x=1\)
\((x={\pi\over2}+k\cdot\pi\vee x={\pi\over2}+k\cdot2\pi)\wedge k\in\zz\)
czyli
\(x={\pi\over2}+k\cdot\pi\wedge k\in\zz\)

Pozdrawiam

[eresh]

Rozwiąż dane równanie:


b) \( tg2x + \frac{1}{2} tg2x + \frac{1}{4} tg2x + ... = tgx \)

\(\tg 2x(1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+...)=\tg x\\
\tg 2x\cdot\frac{1}{1-0,5}=\tg x\\
2\tg 2x-\tg x=0\\
\frac{4\tg x}{1-\tg^2x}=\tg x\\
4\tg x-\tg x(1-\tg^2x)=0\\
\tg x(4-1+\tg^2x)=0\\
\tg x=0\;\;\;\vee\;\;\;\tg^2x=-3\\
\tg x=0\\
x=k\pi
\)

[eresh]

Rozwiąż dane równanie:


c) \( \frac{cos2x}{4} - \frac{cos2x}{16} + \frac{cos2x}{64} - ... = 0,2sin2x \)

\(\cos 2x(\frac{1}{4}-\frac{1}{16}+\frac{1}{64}-...)=0,2\sin 2x\\
\cos 2x\cdot\frac{0,25}{1+0,25}=0,2\sin 2x\\
\cos 2x=\sin 2x\\
2x=\frac{\pi}{4}+2k\pi\;\;\;\vee\;\;2x=\frac{5\pi}{4}+2k\pi\\
x=\frac{\pi}{8}+k\pi\;\;\;\vee\;\;x=\frac{5\pi}{8}+k\pi\)