równoległobok
: 04 cze 2022, 07:05
Boki równoległoboku mają długość a i b, zaś przekątne c i d. Wykaż, że jeśli długości przekątnych różnią się o 4, to cosinus kąta ostrego równoległoboku jest równy \( \frac{c+d}{ab} \)
Zrób schludny rysunek.
Niech \(\alpha\) będzie katem ostrym i \(d-c=4\).
Wtedy
\(\beta=180^\circ-\alpha\) , czyli \(\cos\beta=-\cos\alpha\)
i z wzoru cosinusów mamy
\(-\underline{\begin{cases} d^2=a^2+b^2+2ab\cos\alpha\\ c^2=a^2+b^2-2ab\cos\alpha\end{cases}}\\
d^2-c^2=4ab\cos\alpha\\
4(d+c)=4ab\cos\alpha\\
\cos\alpha={d+c\over ab}\qquad CKD\)
Pozdrawiam