forum.zadania.info

Niech
\( \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+...} } } =x>0\)
wtedy
\( \sqrt[3]{6+x } =x\iff 6+x=x^3\)
Ponieważ
\(w(x)=x^3-x-6=(x^3-2x^2)+(2x^2-4x)+(3x-6)=(x-2)(x^2+2x+3)=\\ \qquad=(x-2)\left((x+1)^2+2\right)\)
to
\(w(x)=0\iff x=2\)

Pozdrawiam

oznaczmy: \( a= \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+ \sqrt[3]{6+...} } } \)
po podniesieniu obu stron do potęgi 3 mamy: \( a^3= 6+ a\)
Teraz należy już tylko rozwiązać to równanie (dla ułatwienia dodam , że 2 jest jednym (a maże jedynym) z jego pierwiastków )