forum.zadania.info

Liczba \(z=3+4i \) jest jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego
wpisanego w okrąg o środku w 0 i promieniu 5. Znaleźć pozostałe wierzchołki
tego trójkąta

Liczba \(z= 4 − 3i\) jest jednym z wierzchołków ośmiokąta foremnego
wpisanego w okrąg o środku w 0 i promieniu 5. Znaleźć pozostałe wierzchołki
tego ośmiokąta

NumberTwo pisze: ↑24 maja 2022, 22:46 Liczba \(z=3+4i \) jest jednym z wierzchołków trójkąta równobocznego
wpisanego w okrąg o środku w 0 i promieniu 5. Znaleźć pozostałe wierzchołki
tego trójkąta

\(z=3+4i=5(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), gdzie \(\begin{cases}\cos\varphi={3\over5}\\\sin\varphi={4\over5}\end{cases}\).

Krotności kąta \({2\pi\over3}\) są kątami obrotów własnych trójkąta równobocznego

Pozostałymi wierzchołkami trójkąta są
\(z_1=5\left(\cos(\varphi+{2\pi\over3})+i\sin(\varphi+{2\pi\over3})\right)=\\ \quad=5\left((\cos\varphi\cos{2\pi\over3}-\sin\varphi\sin{2\pi\over3})+i(\sin\varphi\cos{2\pi\over3}+\cos\varphi\sin{2\pi\over3})\right)=\ldots\)
\(z_2=5\left(\cos(\varphi+{4\pi\over3})+i\sin(\varphi+{4\pi\over3})\right)=\ldots\)

Pozdrawiam

NumberTwo pisze: ↑24 maja 2022, 22:46 Liczba \(z= 4 − 3i\) jest jednym z wierzchołków ośmiokąta foremnego
wpisanego w okrąg o środku w 0 i promieniu 5. Znaleźć pozostałe wierzchołki
tego ośmiokąta

\(z=4-3i=5(\cos\varphi+i\sin\varphi)\), gdzie \(\begin{cases}\cos\varphi={4\over5}\\\sin\varphi=-{3\over5}\end{cases}\).

Krotności kąta \({\pi\over4}\) są kątami obrotów własnych ośmiokąta foremnego

Pozostałymi wierzchołkami ośmiokąta są
\(z_k=5\left(\cos(\varphi+k\cdot{\pi\over4})+i\sin(\varphi+k\cdot{\pi\over4})\right)\) dla \(k\in\{1,2,\ldots,7\}\)

Pozdrawiam