forum.zadania.info

Udowodnij, że \( \forall_{a,b\ge 0} (a+b)(a^{2022}+ b^{2022}) \ge (a^{2} +b^{2})(a^{2021}+b^{2021}) \)

xenoneq_o0 pisze: ↑13 maja 2022, 19:58 Udowodnij, że \( \forall_{a,b\ge 0} (a+b)(a^{2022}+ b^{2022}) \ge (a^{2} +b^{2})(a^{2021}+b^{2021}) \)

\((a+b)(a^{2022}+b^{2022})-(a^2+b^2)(a^{2021}+b^{2021})=\\=a^{2023}+ab^{2022}+a^{2022}b+b^{2023}-a^{2023}-a^2b^{2021}-a^{2021}b^2-b^{2023}=\\=ab^{2022}+a^{2022}b-a^2b^{2021}-a^{2021}b^2=ab(b^{2021}+a^{2021}-ab^{2020}-a^{2020}b)=\\=ab(b^{2020}(b-a)-a^{2020}(b-a)=ab(b-a)(b^{2020}-a^{2020})=ab(a-b)(a^{2020}-b^{2020})=\\=ab(a-b)(a-b)(a^{2019}+a^{2018}b+a^{2017}b^2+...+b^{2019})\geq 0\)

Dana nierówność jest równoważna, dla \(a,b\ge0\), kolejno:
\((a+b)(a^{2022}+ b^{2022}) \ge (a^{2} +b^{2})(a^{2021}+b^{2021})\\
a^{2023}+ab^{2022}+a^{2022}b+b^{2023}\ge a^{2023}+a^2b^{2021}+a^{2021}b^2+b^{2023}\\
ab(a^{2021}+b^{2021}-a^{2020}b-ab^{2020})\ge0\\
ab[a^{2020}(a-b)-b^{2020}(a-b)]\ge0\\
ab(a-b)(a^{2020}-b^{2020})\ge0\\
ab(a-b)^2(a^{2019}+a^{2018}b+\ldots+ab^{2018}+b^{2019})\ge0\)
co jest prawdą dla nieujemnych \(a,b\) (równość zachodzi dla \(ab=0\) lub \(a=b\)), zatem dana nierówność jest prawdziwa. CKD

Pozdrawiam