Rozwiąż równanie

[heja]

\(\sqrt{ x^2 - 2^{51} x + 2^{100}} - \sqrt{ x^2 + 2^{101} x + 4^{100}} = 2^{50}\).

proszę o pomoc - podnoszę obustronnie do kwadratu,ale nie mogę uzyskać odpowiedzi ;
Odp. \(- 2^{99}\).

[anka]

\(\sqrt{ x^2 - 2^{51} x + 2^{100}} - \sqrt{ x^2 + 2^{101} x + 4^{100}} = 2^{50}\)
\(\sqrt{ x^2 - 2^{51} x + 2^{100}} = 2^{50} + \sqrt{ x^2 + 2^{101} x + 4^{100}} \ /()^2\)
\(x^2 - 2^{51} x + 2^{100}= 2^{100} + 2 \cdot 2^{50} \sqrt{ x^2 + 2^{101} x + 4^{100}} +{ x^2 + 2^{101} x + 2^{200}\)
\(- 2^{51} x = 2^{51} \sqrt{ x^2 + 2^{101} x + 2^{200}} + 2^{101} x + 2^{200}\)
\(- 2^{51} x - 2^{101} x - 2^{200} = 2^{51} \sqrt{ x^2 + 2^{101} x + 2^{200}}\ /:2^{51}\)
\(- x - 2^{50} x - 2^{149} = \sqrt{ x^2 + 2^{101} x + 2^{200}}\)
\((- 1 - 2^{50}) x - 2^{149} = \sqrt{ x^2 + 2^{101} x + 2^{200}}\ /()^2\)
\((- 1 - 2^{50}) x - 2^{149} = x^2 + 2^{101} x + 2^{200}\)
\(x^2(2^{50} + 1)^2 + 2 \cdot 2^{149}x(2^{50} + 1) + 2^{298}=x^2 + 2^{101} x + 2^{200}\)
\(x^2(2^{50} + 1)^2 + 2 \cdot 2^{149}x(2^{50} + 1) + 2^{298}-x^2 - 2^{101} x - 2^{200}=0\)
\(x^2(2^{100} + 2 \cdot 2^{50}) + 2^{101}x(2 \cdot 2^{98} + 2 \cdot 2^{48} - 1) + 2^{298} - 2^{200}=0\)
\(x^2(2^{100} + 2^{51}) + 2^{101}x(2^{99} +2^{49} - 1) + 2^{298} - 2^{200}=0 \ /:2^{51}\)
\(x^2(2^{49} + 1) + 2^{50}x(2^{99} +2^{49} - 1) + 2^{247} - 2^{149}=0\)

Powodzenia w dalszym rozwiązywaniu.

[heja]

wielkie dzięki ,też tak zaczęłam,ale wydawało mi się to zbyt czasochłonne,
jest to zadanie w zestawie zadań maturalnych wydawnictwa Aksjomat 2010,
nie wyobrażam sobie podobnego na maturze - na pewno zabrakło by mi czasu;
myślałam,że jest może jakiś inny,krótszy sposób rozwiązania,
jeszcze raz bardzo dziękuję,
pozdrawiam

[anka]

Że też na to wcześniej nie wpadłam:

\(\sqrt{ x^2 - 2^{51} x + 2^{100}} - \sqrt{ x^2 + 2^{101} x + 2^{200}} = 2^{50}\)

\(\sqrt{ (x - 2^{50})^2} - \sqrt{ (x+2^{100})^2} = 2^{50}\)
\(|x - 2^{50}| - |x+2^{100}| = 2^{50}\)

[heja]

stokrotne dzięki " anka " - teraz to jasne,czasem ogarnia człowieka jakaś ciemność umysłu,oby nie za często,