forum.zadania.info

Dla jakich wartości parametru \(m\), równanie \(mx^2-x+m^2-2=0\) ma tylko całkowite pierwiastki?

1) Gdy \(m=0\) to \(x=-2\)
2) Gdy \(m \neq 0\) to \(\frac{1}{m} \in C\) więc możliwe są tylko \(m=1 \vee m=-1\) , jednak dla tych wartości rozwiązania są nie całkowite.

1. \(m=0\So x=-2\)
2. \(m\ne0\)
   Jeśli istnieją \(x_1,x_2\in\zz\) to \(\begin{cases}x_1+x_2={1\over m}\in\zz\\ x_1x_2={m^2-2\over m}\in\zz\end{cases}\)
   • Jeśli \(m\in\zz\), to (z sumy) \(m\in\{-1,1\}\) i po sprawdzeniu: równanie nie ma pierwiastków albo ma niewymierne
   • Jeśli \(m\not\in\zz\), to (z sumy) \(m\in\qq\setminus\zz\) i musi istnieć \(k\in\zz\setminus\{-1,1\}\) takie, że \(m={1\over k}\).
     Wtedy (z iloczynu) \({m^2-2\over m}={1\over k}-2k\not\in\zz\)

Odpowiedź: \(m=0\)

Pozdrawiam

[edited] długo pisałem... ale zostawiam - rozstrzygnąłem przypadki \(m\in\rr\)