Okrąg wpisany w trójkąt i punkty styczności.

[Januszgolenia]

W kartezjańskim układzie współrzędnych \((x,y)\) punkt \(A=(9,12)\) jest wierzchołkiem trójkąta \(ABC\). Prosta \(k\) o równaniu \(y= \frac{1}{2}x\) zawiera dwusieczną kąta \(ABC\) tego trójkąta. Okrąg o równaniu \( (x-8)^2+(y-4)^2=16\) jest wpisany w ten trójkąt. Oblicz współrzędne punktu styczności prostej przechodzącej przez wierzchołki \(B\) i \(C\) tego trójkąta z okręgiem \(O\).

[Jerry]

Zrób schludny rysunek. Niech prosta \(l\) zawiera bok\(\overline{AB}\) ( z rysunku: nie jest pionowa!), wtedy
\(l: y=m(x-9)+12\wedge m\in\rr\).
Aby była styczną do danego okręgu, musi
\(\frac{|m(8-9)-4+12|}{\sqrt{m^a+(-1)^2}}=4\iff (m={4\over3}\vee m=-{12\over5})\).
Rysunek wyklucza \(m=-{12\over5}\), zatem
\(B:\begin{cases}y={1\over2}x\\y={4\over3}x\end{cases}\So B(0,0)\)
Dany okrąg jest styczny do osi \(ox\) i \(B\) do niej należy, czyli \(\overline{BC}\) zawiera się w \(y=0\). Pozostaje przeczytać:
Odp. Punkt styczności ma współrzędne \((8,0)\)

Pozdrawiam