Przypadkowo znalazłem tę hiperboliczną tożsamość...
: 23 lut 2022, 11:24
Prowadziłem wyszukiwanie numeryczne, aby znaleźć nowych kandydatów na interesujące systemy kafelkowe, kiedy mój program wypluł tę tożsamość w geometrii hiperbolicznej:
Niech e_n będzie krawędzią płytek (4,4,4,4,2n,2n); tzn. kwadraty i regularne 2n-kąty z tą krawędzią mają takie kąty, że wokół wierzchołka mieszczą się cztery kwadraty i dwa 2n-kąty.
Wtedy dwa kwadraty i jeden 2n-kąt muszą się dokładnie zsumować do kąta prostego.
Teraz, jeśli weźmiemy dwa horocykliczne apeirogony z krawędzią e_n i jeden n-gon z krawędzią 2*e_n, one również zsumują się do kąta prostego.
Działa dla n=3 do 10. Dla n=2 jest trochę zdegenerowany, ale nadal działa. Działa to również dla nieskończonego n: jeśli dwa kwadraty i jeden apeirogon sumują się do kąta prostego, dwa apeirogon i jeden apeirogon o podwójnej długości krawędzi sumują się również do kąta prostego.
Ale tak naprawdę nie wiem, jak formalnie udowodnić taki wynik liczbowy jak ten.
Niech e_n będzie krawędzią płytek (4,4,4,4,2n,2n); tzn. kwadraty i regularne 2n-kąty z tą krawędzią mają takie kąty, że wokół wierzchołka mieszczą się cztery kwadraty i dwa 2n-kąty.
Wtedy dwa kwadraty i jeden 2n-kąt muszą się dokładnie zsumować do kąta prostego.
Teraz, jeśli weźmiemy dwa horocykliczne apeirogony z krawędzią e_n i jeden n-gon z krawędzią 2*e_n, one również zsumują się do kąta prostego.
Działa dla n=3 do 10. Dla n=2 jest trochę zdegenerowany, ale nadal działa. Działa to również dla nieskończonego n: jeśli dwa kwadraty i jeden apeirogon sumują się do kąta prostego, dwa apeirogon i jeden apeirogon o podwójnej długości krawędzi sumują się również do kąta prostego.
Ale tak naprawdę nie wiem, jak formalnie udowodnić taki wynik liczbowy jak ten.