Prowadziłem wyszukiwanie numeryczne, aby znaleźć nowych kandydatów na interesujące systemy kafelkowe, kiedy mój program wypluł tę tożsamość w geometrii hiperbolicznej:
Niech e_n będzie krawędzią płytek (4,4,4,4,2n,2n); tzn. kwadraty i regularne 2n-kąty z tą krawędzią mają takie kąty, że wokół wierzchołka mieszczą się cztery kwadraty i dwa 2n-kąty.
Wtedy dwa kwadraty i jeden 2n-kąt muszą się dokładnie zsumować do kąta prostego.
Teraz, jeśli weźmiemy dwa horocykliczne apeirogony z krawędzią e_n i jeden n-gon z krawędzią 2*e_n, one również zsumują się do kąta prostego.
Działa dla n=3 do 10. Dla n=2 jest trochę zdegenerowany, ale nadal działa. Działa to również dla nieskończonego n: jeśli dwa kwadraty i jeden apeirogon sumują się do kąta prostego, dwa apeirogon i jeden apeirogon o podwójnej długości krawędzi sumują się również do kąta prostego.
Ale tak naprawdę nie wiem, jak formalnie udowodnić taki wynik liczbowy jak ten.
Przypadkowo znalazłem tę hiperboliczną tożsamość...
Otrzymałeś(aś) rozwiązanie do zamieszczonego zadania? - podziękuj autorowi rozwiązania! Kliknij