forum.zadania.info

Wykaż, że ciągi są geometryczne:
a) \(a_n=2\cdot3^n\)
b) \(a_n=2^{-n}\)
Wiem, że ciąg jest geometryczny wtedy gdy:
\({a_2\over a_1} = {a_3\over a_2}\)
Nie umiem tego udowodnić bez podstawiania za \(n\) odpowiednio: \(1,2,3\)

Ciąg \( a_n \) jest geometryczny wtedy gdy dla \( \textbf{każdego} \) \( n \geq 1 \) iloraz:
\[ \frac{a_{n+1}}{a_n} \]
ma stałą wartość.
Sprawdzenie tylko ilorazów:
\( \frac{a_2}{a_1} \) oraz \( \frac{a_3}{a_2} \)
jest mocno niewystarczające.

Icanseepeace pisze: ↑20 lut 2022, 16:54 Ciąg \( a_n \) jest geometryczny wtedy gdy dla \( \textbf{każdego} \) \( n \geq 1 \) iloraz: \( \frac{a_{n+1}}{a_n} \) ma stałą wartość.

Praktycznie:
Oba ciągi nie przyjmują wartości zerowych i

1. \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2\cdot3^{n+1}}{2\cdot3^n}=3=\text{ const}\)
2. \(\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{2^{-(n+1)}}{2^{-n}}=2^{-1}=\text{ const}\)

zatem są ciągami geometrycznymi o ilorazach, odpowiednio, \(3\) i \({1\over2}\)

Pozdrawiam

Ciąg \( \left\{ a_n \right\} \) jest geometryczny jeśli \( a_n=a_1q^{n-1} \)
a)
\(a_n=2\cdot3^n\\
a_n=6\cdot 3^{n-1}\)
b)
\(a_n=2^{-n}\\
a_n=(\frac12)^n\\
a_n=\frac12 \cdot (\frac12)^{n-1}

\)