forum.zadania.info

Zbadać czy liczby \(\sqrt{2}\) , \(\sqrt{3}\) , \(\sqrt{5} \) mogą być wyrazami ciągu arytmetycznego

Zakładam że mogą być pewnymi wyrazami ciągu arytmetycznego o różnicy r.
Wtedy \(\sqrt{2}+kr=\sqrt{3}\) oraz \(\sqrt{3}+mr=\sqrt{5} \) więc:
\(r= \frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{k}= \frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{m} \\
m(\sqrt{3} - \sqrt{2} )= k((\sqrt{5} - \sqrt{3})\)
Podnieś ostatnie równanie do kwadratu i wyjaśnij czy da się wyrugować z wyniku niewymierność dla dowolnych całkowitych k,m.

Ok podniosłam i mam \(m^2 =k^2 (40-16 \sqrt{6} -10 \sqrt{15} +12 \sqrt{10} )\)

alanowakk pisze: ↑16 lut 2022, 20:51 Ok podniosłam i mam \(m^2 =k^2 (40-16 \sqrt{6} -10 \sqrt{15} +12 \sqrt{10} )\)

raczej:
\(m^2(5-2\sqrt{6})=k^2(8-2\sqrt{15})\)

No ok i jaki jest z tego wniosek?

alanowakk pisze: ↑16 lut 2022, 20:51 Ok podniosłam i mam \(m^2 =k^2 (40-16 \sqrt{6} -10 \sqrt{15} +12 \sqrt{10} )\)
[...]
No ok i jaki jest z tego wniosek?

\({m^2\over k^2}=\frac{(8-2\sqrt{15})(5+2\sqrt{6})}{(5-2\sqrt{6})(5+2\sqrt{6})}=40-16\sqrt6-10\sqrt{15}+12\sqrt{10}\notin\qq\)
zatem sprzeczność dla \(m,k\in\nn\)

Pozdrawiam