forum.zadania.info

Biorąc pod uwagę punkt \(A(6,30)\) i punkt \(B(24,6)\). Równanie prostej \(AB\) to \(4x+3y=114\). Punkt \((0,\lambda)\) jest punktem na osi y takim, że \(0<\lambda<38\). Dla wszystkich pozycji \(P\), kąt \(APB\) jest maksymalny, gdy punkt \(P\) jest?

Nie umniejszając rangi problemu, niech \(\lambda=p\).
Zauważmy istnienie prostych, jak na animacji, tangens kąta pomiędzy nimi równy jest
\[\tg(\angle APB)=\ldots={18(38-p)\over(p-18)^2}\]
I, jeśli istnieje, to dla \(p\in\langle0;38\rangle\) jest nieujemny, zatem rzeczony kąt jest ostry (albo zerowy). Dla \(p=18\) nie istnieje - rzeczony kąt jest prosty!
Odp. Największy kąt, równy \(90^\circ\), znajdziemy dla \(P(0,18)\)

Pozdrawiam