forum.zadania.info

Boki \(AB\) i \(BC\) czworokąta wypukłego \(ABCD\) mają jednakową długość, równą promieniowi okręgu opisanego na tym czworokącie. Wiedząc, że \(|AD|=24\) i \(|CD|=15\), oblicz długości przekątnych \(AC,\ BD\) oraz promień tego okręgu.

Januszgolenia pisze: ↑05 lut 2022, 20:47 Boki AB i BC czworokąta wypukłego ABCD mają jednakową długość, równą promieniowi okręgu opisanego na tym czworokącie. Wiedząc, że IADI=24 i ICDI=15, oblicz długości przekątnych AC, BD oraz promień tego okręgu.

\(|AB|=|BC|=||OA|=|OB|=|OC|=r\)
trójkąty AOB i BOC są równoboczne, więc \(|\angle ABC|=120^{\circ}\)

\(|AC|^2=24^2+15^2-2\cdot 24\cdot 15\cdot \cos 60^{\circ}\\|AC|=21\)

\(|AC|^2=r^2+r^2-2r^2\cos 120^{\circ}\\
21^2=3r^2\\
r=7\sqrt{3}\)

\(|BD|^2=24^2+r^2-2\cdot 24\cdot r\cdot \cos\alpha\\
|BD|^2=723-336\sqrt{3}\cos\alpha\\
\cos\alpha=\frac{-|BD|^2+723}{336\sqrt{3}}\)

\(|DB|^2=15^2+r^2+2\cdot 15\cdot r\cos\alpha\\
|BD|^2=372+210\sqrt{3}\cdot\frac{-|DB|^2+723}{336\sqrt{3}}\\
|BD|^2=372+\frac{5}{8}(723-|DB|^2)\\
|DB|^2=372+\frac{3615}{8}-\frac{5}{8}|DB|^2\\
\frac{13}{8}|DB|^2=\frac{6591}{8}\\
|DB|^2=507\\
|DB|=13\sqrt{3}
\)

eresh pisze: ↑05 lut 2022, 21:33 ...
\(|AB|=|BC|=||OA|=|OB|=|OC|=r\)
trójkąty AOB i BOC są równoboczne, więc \(|\angle ABC|=120^{\circ}\)

\(|AC|^2=24^2+15^2-2\cdot 24\cdot 15\cdot \cos 60^{\circ}\\|AC|=21\)

\(|AC|^2=r^2+r^2-2r^2\cos 120^{\circ}\\
21^2=3r^2\\
r=7\sqrt{3}\)
...

i alternatywny ciąg dalszy:
Niech \(|BD|=x>0\). Ponieważ \(\overline{BD}\) zawiera się w dwusiecznej \(\angle CDA\), to bilansując pole \(ABCD\) mamy
\[{1\over2}\cdot 24\cdot x\cdot\sin30^\circ+{1\over2}\cdot x\cdot 15\cdot\sin30^\circ={1\over2}\cdot 24\cdot 15\cdot\sin60^\circ+{1\over2}\cdot 7\sqrt{3}\cdot 7\sqrt{3}\cdot\sin120^\circ\\
{39\over4}x={507\sqrt3\over4}\\ x=13\sqrt3\]
Pozdrawiam