Zbadaj przebieg zmienności funkcji

[Sway22]

(dziedzina, asymptoty, przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne, wykres)
\(
a) f(x) = x - \frac{4}{x^2} \\
b) f(x) = (x^2 + x + 1) e^ \left( x + 2 \right) \\
c) f(x) = \frac{x^2}{2} \ln \frac{x}{a}
\)
gdzie a > 0 jest zadanym parametrem
\(
d) f(x) = \frac{1}{x^3 + x^2 - x}
\)

[eresh]

I z którym punktem badania przebiegu zmienności funkcji masz problem?

[Sway22]

I z którym punktem badania przebiegu zmienności funkcji masz problem?

głównie asymptoty i przedziały monotoniczności

[eresh]

(dziedzina, asymptoty, przedziały monotoniczności, ekstrema lokalne, wykres)
\(
a) f(x) = x - \frac{4}{x^2} \\
\)

\(D=\mathbb{R}\setminus\{0\}\\
\Lim_{x\to \infty}(\frac{f(x)}{x})=\Lim_{x\to\infty}(1-\frac{4}{x^3})=1\\
\Lim_{x\to\infty}(x-\frac{4}{x^2}-x)=0\\
y=x\mbox{ asymptota ukosna}\\
\Lim_{x\to 0}\frac{x^3-4}{x^2}=-\infty\\
x=0\mbox{ asymptota}\\
f'(x)=1+\frac{8}{x^3}=\frac{x^3+8}{x^3}\\
f_{max}=f(-2)\)
funkcja rośnie w \((-\infty, -2),(0,\infty)\)
funkcja maleje w \((-2,0)\)

[eresh]

głównie asymptoty i przedziały monotoniczności

b) spróbujmy razem
określ dziedzinę i wyznacz pochodną

[Sway22]

Jak obliczyłaś tu przedziały monotoniczności?
Bo rozumiem, że trzeba sprawdzić dla jakich x pochodna tej funkcji jest większa i mniejsza od 0.
Ale licząc tutaj \( \frac{x^3+8}{x^3} > 0 \) dochodzę do postaci \( x^6 + 8x^3 > 0 \) i nie wiem za bardzo co dalej.

[eresh]

Jak obliczyłaś tu przedziały monotoniczności?
Bo rozumiem, że trzeba sprawdzić dla jakich x pochodna tej funkcji jest większa i mniejsza od 0.
Ale licząc tutaj \( \frac{x^3+8}{x^3} > 0 \) dochodzę do postaci \( x^6 + 8x^3 > 0 \) i nie wiem za bardzo co dalej.

\(x^3(x^3+8)>0\\\)
miejsca zerowe:0,-2
rysujesz "wężyk" i z wykresu odczytujesz zbiór rozwiązań nierówności:
\(x\in (-\infty, -2)\cup (0,\infty)\)

[Sway22]

głównie asymptoty i przedziały monotoniczności

b) spróbujmy razem
określ dziedzinę i wyznacz pochodną

\(
D = \rr \\
f'(x) = (2x+1)e^ \left( x+2 \right) (?)
\)

[eresh]

\(
D = \rr \\
f'(x) = (2x+1)e^ \left( x+2 \right) (?)
\)

pochodną trzeba policzyć ze wzoru na pochodną iloczynu
\((fg)'=f'g+fg'\)


jak już mamy dziedzinę, to wyznaczamy asymptoty, policz \(\Lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}\)

[Sway22]

pochodną trzeba policzyć ze wzoru na pochodną iloczynu
\((fg)'=f'g+fg'\)

czyli będzie \( (2x+1)e^ \left( x + 2 \right) + (x^2 + x + 1)e^ \left( x+2 \right) \) ?

[eresh]

pochodną trzeba policzyć ze wzoru na pochodną iloczynu
\((fg)'=f'g+fg'\)

czyli będzie \( (2x+1)e^ \left( x + 2 \right) + (x^2 + x + 1)e^ \left( x+2 \right) \) ?

tak
\(f'(x)=e^{x+2}(2x+1+x^2+x+1)\\
f'(x)=e^{x+2}(x^2+3x+2)\\
f'(x)>0\iff...\\
f'(x)<0\iff...\)

[Sway22]

tak
\(f'(x)=e^{x+2}(2x+1+x^2+x+1)\\
f'(x)=e^{x+2}(x^2+3x+2)\\
f'(x)>0\iff...\\
f'(x)<0\iff...\)

\(
e^{x+2}(x^2+3x+2) > 0 \\
x^2+3x+2 > 0 \\
\Delta = 1 \\
\sqrt{ \Delta } = 1 \\
x1 = -1 \\
x2 = -2 \\
\)
rosnąca \( \iff x \in (- \infty ; -2) \cup (-1 ; + \infty ) \\ \)
\(
e^{x+2}(x^2+3x+2) < 0 \\
x^2+3x+2 < 0 \\
\Delta = 1 \\
\sqrt{ \Delta } = 1 \\
x1 = -1 \\
x2 = -2 \\
\)
malejąca \( \iff x \in (-2 ; -1) \)

[eresh]

\(
e^{x+2}(x^2+3x+2) > 0 \\
x^2+3x+2 > 0 \\
\Delta = 1 \\
\sqrt{ \Delta } = 1 \\
x1 = -1 \\
x2 = -2 \\
\)
rosnąca \( \iff x \in (- \infty ; -2) \cup (-1 ; + \infty ) \\ \)
\(
e^{x+2}(x^2+3x+2) < 0 \\
x^2+3x+2 < 0 \\
\Delta = 1 \\
\sqrt{ \Delta } = 1 \\
x1 = -1 \\
x2 = -2 \\
\)
malejąca \( \iff x \in (-2 ; -1) \)

funkcja jest rosnąca w przedziałach, ale nie w sumie przedziałów!
\(f_{max}=f(-2)\\
f_{min}=f(-1)\)

jeszcze asymptoty
\(\Lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}=...\)

[Sway22]

jak już mamy dziedzinę, to wyznaczamy asymptoty, policz \(\Lim_{x\to\pm\infty}\frac{f(x)}{x}\)

\(
\Lim_{x\to + \infty } \frac{(x^2+x+1)e^{x+2}}{x} =
\)
nie wiem za bardzo co tu zrobić

[eresh]

\(
\Lim_{x\to + \infty } \frac{(x^2+x+1)e^{x+2}}{x} =
\)
nie wiem za bardzo co tu zrobić

\(\Lim_{x\to \infty}\frac{(x^2+x+1)e^{x+2}}{x}=^H\Lim_{x\to \infty}\frac{(2x+1)e^{x+1}+(x^2+x+1)e^{x+2}}{1}=\infty\\
\Lim_{x\to -\infty}\frac{(x^2+x+1)e^{x+2}}{x}=\Lim_{x\to -\infty}\frac{x+1+\frac{1}{x}}{e^{-x-2}}=^H\Lim_{x\to -\infty}\frac{1-\frac{1}{x^2}}{-e^{-x-2}}=0\\
\Lim_{x\to -\infty}(f(x)-0x)=\Lim_{x\to -\infty}(x^2+x+1)e^{x+2}=0\\
y=0\mbox{ asymptota pozioma lewostronna}\)