Przeciwobraz/obraz funkcji
: 27 sty 2022, 16:01
Niech \(f:X\to Y\) i \(g:X\to Z\) będą funkcjami oraz \(A \subset X, B \subset Y, C \subset Z\). Sprawdź, czy \(\\a) (f,g)^{-1}[B\times C] =f^{-1} \left[B \right] \cap g^{-1} \left[C \right]
\\ b) (f,g) \left[A \right]=f \left[A \right] \times g \left[A \right] \)
Proszę o sprawdzenie a) i pomoc w b).
\(a) x\in X \) - dowolne
\(x\in (f,g)^{-1}[B \times C] \iff \exists _{y\in B \times C}: (f,g)(x)=y \iff \\
\iff \exists _{y\in B \times C}: (f(x),g(x))=y \iff \\
\iff \exists _{y\in B \times C}: f(x)=y \wedge g(x)=y \iff \\
\iff \exists _{y\in B}: f(x)=y \wedge \exists _{y\in C}: g(x)=y \iff \\
\iff x\in f^{-1} \left[B \right] \cap g^{-1} \left[C \right] \)
\\ b) (f,g) \left[A \right]=f \left[A \right] \times g \left[A \right] \)
Proszę o sprawdzenie a) i pomoc w b).
\(a) x\in X \) - dowolne
\(x\in (f,g)^{-1}[B \times C] \iff \exists _{y\in B \times C}: (f,g)(x)=y \iff \\
\iff \exists _{y\in B \times C}: (f(x),g(x))=y \iff \\
\iff \exists _{y\in B \times C}: f(x)=y \wedge g(x)=y \iff \\
\iff \exists _{y\in B}: f(x)=y \wedge \exists _{y\in C}: g(x)=y \iff \\
\iff x\in f^{-1} \left[B \right] \cap g^{-1} \left[C \right] \)