forum.zadania.info

Ciąg dalszy zaliczenia ustnego
Czy ktoś jest w stanie to wytłumaczyć? (zdanie jest prawdziwe)
Jeśli \(f\) jest całkowalna w \( I=( -\infty , \infty), \int_{}^{}f(x)dx=F(x) +c \) i \(a \neq 0\), to \(\int_{}^{} f(ax+b)dx= \frac{1}{a} F(ax+b) + C \) w \(I\)

cheruille pisze: ↑27 sty 2022, 14:45 Ciąg dalszy zaliczenia ustnego
Czy ktoś jest w stanie to wytłumaczyć? (zdanie jest prawdziwe)
Jeśli \(f\) jest całkowalna w \( I=( -\infty , \infty), \int_{}^{}f(x)dx=F(x) +c \) i \(a \neq 0\), to \(\int_{}^{} f(ax+b)dx= \frac{1}{a} F(ax+b) + C \) w \(I\)

\(\int f(ax+b)dx= \begin{bmatrix} ax+b=t\\adx=dt]\end{bmatrix} =\int f(t)\cdot\frac{dt}{a}=\frac{1}{a}F(t)+C=\frac{1}{a}F(ax+b)+C\)

Sprawdźmy:
\(\left(\frac{1}{a} F(ax+b) + C\right)'={1\over a}\cdot F'(ax+b)={1\over a}\cdot f(ax+b)\cdot (ax+b)'={1\over a}\cdot f'(ax+b)\cdot a=f(ax+b)\)
jest, jak miało być!

Pozdrawiam