forum.zadania.info

Zbadać istnienie pochodnej funkcji \(f(x) =|x^2 - 4| \)w punkcie \(x_0=2\)

peresbmw pisze: ↑26 sty 2022, 19:21 Zbadać istnienie pochodnej funkcji \(f(x) =|x^2 - 4| \)w punkcie \(x_0=2\)

\(\Lim_{h\to 0^+}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\Lim_{h\to 0^+}\frac{|(2+h)^2-4|}{h}=\Lim_{h\to 0^+}\frac{|4h+h^2|}{h}=\Lim_{h\to 0^+}\frac{4h+h^2}{h}=\Lim_{h\to 0^+}(4+h)=4\\
\Lim_{h\to 0^-}\frac{f(2+h)-f(2)}{h}=\Lim_{h\to 0^-}\frac{|(2+h)^2-4|}{h}=\Lim_{h\to 0^-}\frac{|4h+h^2|}{h}=\Lim_{h\to 0^-}\frac{-4h-h^2}{h}=\Lim_{h\to 0^-}(-4-h)=-4
\)
granice nie są równe, pochodna nie istnieje

Albo:
\(y=f(x) =|x^2 - 4|=\begin{cases}x^2-4&\text{ dla }& x\in(-\infty;-2\rangle\cup\langle2;+\infty)\\ -x^2+4&\text{ dla }&x\in(-2;2)\end{cases}\)
\(y'=f'(x)\begin{cases}2x&\text{ dla }& x\in(-\infty;-2)\cup(2;+\infty)\\ -2x&\text{ dla }&x\in(-2;2)\end{cases}\)
\[\Lim_{x\to2^-}f'(x)=-4\ne4=\Lim_{x\to2^+}f'(x)\So f'(2)=\text{ nie istnieje}\]
Pozdrawiam