forum.zadania.info

Dane są punkty \(A=(3,5,3), B=(4,7,5)\) i płaszczyzna \(\pi:3x+2y+2z−14=0\).

Wyznaczyć równanie prostej \(AB\), punkt wspólny \(P\) prostej \(AB\) i płaszczyzny \(\pi\) oraz cosinus kąta pomiędzy wektorem \(\vec{AB}\) i wektorem normalnym płaszczyzny \(\pi\).

Udało mi się tylko wyznaczyć prostą \(AB: {x-3\over1}={y-5\over2}={z-3\over 2}\). Dalej nie wiem co począć.

Zapisz to równanie w postaci parametrycznej, a następnie wstaw do równania płaszczyzny. Alternatywnie możesz od razu wstawić te równania (są tu tak naprawdę dwa niezależne równania) i rozwiązać układ trzech równań z trzema niewiadomymi.

Cosinus kąta między wektorami chyba policzysz. To jest niezależne od punktu wspólnego.

Praktycznie, ja bym to zrobił tak:

kownakos1337 pisze: ↑24 sty 2022, 15:36 Udało mi się tylko wyznaczyć prostą \(AB: {x-3\over1}={y-5\over2}={z-3\over 2}\).

Oznacza to, że punkt prostej ma współrzędne: \(\begin{cases}x=3+t\\ y=5+2t\\z=3+2t\end{cases}\wedge t\in\rr\). Aby należał do danej płaszczyzny, musi
\[3(3+t)+2(5+2t)+2(3+2t)−14=0\iff t=-1 \]
Stąd \(P(2,3,1)\)
Ze znanego faktu:
\[\cos\angle(\vec{AB},\vec{N_\pi})=\frac{\vec{AB}\circ\vec{N_\pi}}{|\vec{AB}|\cdot|\vec{N_\pi}|}
=\frac{1\cdot3+2\cdot2+2\cdot2}{\sqrt{1^2+2^2+2^2}\cdot\sqrt{3^2+2^2+2^2}}=\ldots\]
Pozdrawiam