forum.zadania.info

Uzasadnij, że dla \(n \in N\) wartość ułamka \(\frac{n^2+3n}{n^3+8n^2+15n}\) nie jest liczbą całkowitą

peresbmw pisze: ↑23 sty 2022, 18:51 Uzasadnij, że dla \(n \in N\) wartość ułamka \(\frac{n^2+3n}{n^3+8n^2+15n}\) nie jest liczbą całkowitą

\(\frac{n^2+3n}{n^3+8n^2+15n}=\frac{n(n+3)}{n(n+3)(n+5)}=\frac{1}{n+5}\notin\mathbb{N}\)

Albo, dla osób nie ogarniających faktoryzacji, można zauważyć: ciąg \(a_n=\frac{n^2+3n}{n^3+8n^2+15n}\) jest taki, że

• \(a_1={1\over6}\)
• \((a_n)\) jest malejący, bo \(\forall_{n\in\nn_+}a_{n+1}-a_n=-{n^4+8n^3+19n^2+12n\over n^6+19n^5+137n^4+461n^3+702n^2+360n}<0\)
• \(\Limn a_n=0\)

Zatem \[\forall_{n\in\nn_+}0< a_n\le{1\over6}\]
Pozdrawiam
PS. Rachunki do sprawdzenia